Cálculos com porcentagem

A porcentagem costuma indicar uma parte relativa de um todo, sendo que o todo em si é expresso como 100%. A porcentagem sempre pode ser reescrita como fração.

A porcentagem como parte de um todo

Usamos a porcentagem quando queremos expressar uma parte de algum todo. Podemos substituir pela porcentagem expressões como “um quarto da turma ficou abaixo da média” ou “um em cada dois habitantes é homem”. Sempre temos um todo, por exemplo a turma inteira de alunos, e dizemos que um quarto deles ficou abaixo da média. Se há 32 alunos na turma e um quarto deles ficou abaixo da média, então o número total de alunos que ficaram abaixo da média será igual a:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{o que é o mesmo que}\frac{32}{4}=8$$

No segundo caso podemos ter uma cidade, digamos Vila Esperança. Ela tem aproximadamente 60.000 habitantes. Se um em cada dois habitantes é homem, isso significa que metade deles são homens, e escrevemos:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{o que é o mesmo que}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Poderíamos ainda dizer que “um em cada cem habitantes de Vila Esperança é matemático”. Então valeria que temos em Vila Esperança $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matemáticos. “Um em cada cem” é o mesmo que “um centésimo dos habitantes”.

Agora podemos introduzir o conceito de porcentagem. Um por cento, que indicamos por 1%, significa um centésimo do todo. Isso quer dizer que, quando dizemos que “um em cada cem habitantes de Vila Esperança é matemático” e que “um por cento dos habitantes de Vila Esperança são matemáticos”, estamos dizendo a mesma coisa. Calculamos um por cento do todo multiplicando o todo por $\frac{1}{100}$ ou dividindo por 100, dá no mesmo.

Podemos converter facilmente a porcentagem em frações e continuar trabalhando com elas. Se disséssemos que “em Vila Esperança x% das pessoas têm cabelo escuro”, é o mesmo que dizer “em Vila Esperança $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ pessoas têm cabelo escuro”. 100% representa então o todo, isto é, todos os habitantes. A frase “100% dos alunos foram aprovados para o ano seguinte” significa que todos os alunos foram aprovados. A frase “0% dos alunos foi reprovado” diz que ninguém foi reprovado. Exemplos:

1. 35% dos habitantes de Vila Esperança andam de ônibus. Quantas pessoas andam de ônibus? 35 % é o mesmo que $\frac{35}{100}$ do todo (= “trinta e cinco centésimos do todo”). Calculamos assim: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Isso pode ser calculado de maneira simples dividindo primeiro 60.000 por cem e multiplicando esse resultado por 35. Basicamente fazemos esta transformação:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Podemos imaginar isso assim: primeiro calculamos o número de habitantes que corresponde a um por cento: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. A um por cento correspondem 600 habitantes. Nós queremos saber 35% dos habitantes, então esses 600 habitantes só precisamos multiplicar: 35 · 600 = 21.000.

2. Pedro ganha, em média, 200 reais por dia. Hoje ele ganhou apenas 75% do seu ganho médio. Quanto Pedro ganhou? O procedimento continua o mesmo. O todo é 200, e 75% convertemos na fração $\frac{75}{100}$. Essa fração ainda pode ser simplificada para a fração $\frac{3}{4}$. Multiplicamos o todo por essa fração:

   $$\frac{3}{4}\cdot 200=\frac{3\cdot 200}{4}=3\cdot 50=150$$

3. No dia seguinte, Pedro se superou e ganhou 150% do seu ganho médio. Quanto ele ganhou? Será que podemos ter mais que 100%, se dissemos que 100% representa o todo? Sim, é possível. Assim como alguém pode ganhar “três vezes mais dinheiro que a média”, alguém pode ganhar 150% da sua média.

   Vamos proceder exatamente da mesma forma. Convertemos 150% na fração $\frac{150}{100}$ e multiplicamos por essa fração o ganho médio de Pedro, isto é, 200:

   $$\frac{150}{100}\cdot 200=\frac{150\cdot 200}{100}=\frac{150\cdot 2}{1}=150\cdot 2=300$$

A porcentagem como regra de três

A parte de um todo expressa em porcentagem pode ser facilmente convertida em uma regra de três. Fiquemos com o Pedro, que ganha em média 200 reais por dia e hoje ganhou 75% do seu ganho médio. Podemos escrever isso por meio da regra de três assim:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 200\text{ reais}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ reais}\end{array}$$

Como se trata de uma proporção direta, obtemos a forma:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{200}$$

Multiplicamos a equação por 200 e temos:

$$\frac{75\cdot 200}{100}=x$$

E daí calculamos facilmente o resultado:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 200}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 2}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 2\\ x& =& 150\end{array}$$

Vemos que obtivemos o mesmo número.

E se conhecemos a parte e não conhecemos o todo?

Nos exemplos anteriores sempre contamos com o fato de conhecermos o valor exato do todo e termos de calcular dele uma certa parte dada em porcentagem. Mas e se conhecemos justamente a parte e não conhecemos o todo? Exemplo: Pedro tem 120 cartinhas de um jogo, com um grande monstro verde. Porém, apesar de ser um número respeitável de cartinhas do monstro verde, ele ainda tem apenas sessenta por cento das cartinhas que a Júlia tem. Quantas cartinhas tem a Júlia?

Aqui conhecemos a parte, mas não conhecemos o todo, que ainda temos de calcular. Neste momento sabemos que 120 cartinhas correspondem a 60% das cartinhas que a Júlia tem. Para descobrir quantas cartinhas correspondem a um por cento, basta dividir esses cento e vinte por sessenta. Obtemos o dois: 120/60 = 2. Um por cento das cartinhas são, na verdade, duas cartinhas do monstro verde. Como estamos calculando o todo, que é sempre 100%, multiplicamos esse número de cartinhas por cem. E temos 200 cartinhas, que é o resultado correto.

Podemos verificar isso calculando 60% de 200: simplesmente multiplicamos

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vemos que 60% de 200 correspondem a 120, que é exatamente o número de cartinhas com o monstro verde que o Pedro tem.

Soma de porcentagens

Se temos de resolver um problema em que aparecem porcentagens, sempre é melhor calcular valores exatos em vez de porcentagens e depois somá-los. Então o enunciado poderia ser mais ou menos assim: Lucas ganha 3.000 reais, Gabriel 4.000 e Beatriz 5.000. Agora calcule quantos reais ganha Camila, que ganha 30% do que Lucas ganha mais 40% do que Gabriel ganha mais 25% do que Beatriz ganha.

Aqui temos três expressões com porcentagens, mas cada expressão vem de um todo diferente. Lucas, Gabriel e Beatriz ganham, cada um, uma quantia diferente de dinheiro. Então primeiro calculamos 30% do salário do Lucas. Um por cento é 3.000/100 = 30. Em seguida multiplicamos 30 · 30 e obtemos 900. Depois é a vez de 40% do salário do Gabriel. Um por cento é 4.000/100 = 40. De novo multiplicamos por 40 e temos 40 · 40 = 1.600. A última parte são 25% da Beatriz. Ela ganha 5.000, e um por cento disso é 5.000/100 = 50. Multiplicando por 25, obtemos 50 · 25 = 1.250. Agora só falta somar todos os resultados parciais: 900 + 1.600 + 1.250 = 3.750. Camila ganha 3.750 reais, o que é um salário bastante razoável.

No entanto, pode acontecer de realmente precisarmos somar porcentagens. Podemos somar porcentagens apenas quando elas têm a mesma base, o mesmo todo. Assim, se por exemplo João ganhasse 20% do que Gabriel ganha mais 30% do que Gabriel ganha, podemos somar essas porcentagens, porque se trata da mesma base: as duas expressões trabalham com o salário base do Gabriel. O resultado será, portanto, 20% + 30% = 50%. João ganha metade do que Gabriel ganha, dois mil reais.

A traiçoeira soma de porcentagens em cascata

Agora imagine a seguinte situação: Mateus ganhou no primeiro ano 3.000 reais. No segundo ano, porém, ele recebeu um aumento e seu salário subiu 30%. No ano seguinte, o terceiro, ele recebeu de novo um aumento e de novo subiram seu salário, embora desta vez apenas 10%. A pergunta é: qual é agora o salário do Mateus?

Nesse tipo de problema, a tentação de somar as porcentagens como no caso anterior é enorme. Afinal, ainda estamos, aparentemente, trabalhando com a mesma base, o salário do Mateus. Então calculamos 30% + 10% e somamos ao salário base dele. Mateus ganharia assim 4.200 reais. Só que não é assim. Vamos ver.

No primeiro ano ele recebia 3.000. No segundo ano recebia 3.000 + 30%. O que dá 3.900, como você certamente já calculou sozinho. E agora, no ano seguinte, aumentaram o salário em dez por cento. Só que atenção! A base já não são aqueles três mil que ele tinha no primeiro ano. A base já são três mil e novecentos! E, como sabemos, só podemos somar porcentagens se elas são calculadas sobre a mesma base. E no nosso caso a base é diferente. Na primeira vez foram 3.000 e agora são 3.900. Então, no último ano, Mateus recebia 3.900 + 10%, que dá 4.290.

A solução com 4.200 estava errada e, além disso, lesamos o coitado do Mateus em 90 reais. Não seja malvado com o Mateus!

Compre um livro de matemática com desconto!

Um exemplo clássico também é o do desconto. Imagine que na loja tem um livro de matemática que você queria muito ganhar de presente de aniversário. Afinal, o que mais você iria querer, não é? :-)

Antes da volta às aulas, porém, o livro sobe de preço, em 20 %. Você pensa que então vai esperar e comprá-lo depois do início das aulas. Fez bem, porque a loja, depois do início das aulas, deu um desconto de 20 % no livro. A pergunta é: o livro custa o mesmo que antes do aumento? Ou custa mais ou menos?

O senso comum de algumas pessoas, de novo, diz que o livro vai custar o mesmo, mas isso não é verdade. Vamos calcular. Digamos que o livro custava R$ 100. Um aumento de 20% significa que o livro ficou mais caro em $\frac{20}{100}\cdot 100=20$ reais. O livro passou a custar R$ 120.

Só que o desconto de 20% já não é calculado sobre a base 100, e sim sobre a base 120! Isso significa que o livro fica mais barato em $\frac{20}{100}\cdot 120=24$ reais. O livro com desconto custa R$ 96.

(Mas, para falar a verdade, quem compraria um livro de matemática, se existe a Matemática sem complicação para você ;-))

Por mil

O por mil é usado com mais frequência para medir o álcool no sangue de um motorista. Algumas pessoas acham, erradamente, que o por mil é um milésimo de um por cento, mas isso é um erro, cuidado com isso. O por mil é um milésimo do todo. Fora isso, calcula-se com o por mil exatamente como com a porcentagem. Se você quer descobrir x por mil de 5000, calcula como $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. No lugar de 100, no denominador da fração está 1000. Três por mil de 5000 é, portanto, $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

O por mil é indicado pelo símbolo ‰. Vale, então, que $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mais em um artigo à parte sobre o por mil.

Tipografia da porcentagem

Em português, o símbolo de porcentagem se escreve logo depois do número, sem espaço: “100%”. Não confunda esse uso com o de outros idiomas, em que se escreve “100 %” com espaço. Lembre-se disso ao escrever.

Ponto percentual

Além da porcentagem normal, ainda podemos ter pontos percentuais. Qual é a diferença? Imagine que o navegador Firefox era usado há dois anos por 20 % das pessoas, mas este ano já é usado por 30% das pessoas. Qual é o aumento entre esses dois anos? Seria um erro dizer que o aumento é de dez por cento. Se o Firefox era usado primeiro por 20% das pessoas e depois por 30%, isso significa que agora ele é usado por metade a mais de pessoas do que antes. O que significa um aumento de cinquenta por cento.

Mas, por outro lado, é meio ruim dizer que o aumento é de 50%, quando para todos seria mais compreensível dizer que a porcentagem subiu dez. E justamente para isso temos os pontos percentuais. Neste caso podemos dizer que o aumento do uso do navegador Firefox é de dez pontos percentuais. Podemos usar pontos percentuais quando queremos expressar a diferença simples entre dois dados percentuais.