Funções trigonométricas

Neste artigo vou tratar das funções trigonométricas. A palavra trigonometria vem do grego: trigōnon significa triângulo e metron, medida. Conhecemos quatro funções trigonométricas básicas — seno, cosseno, tangente e cotangente.

Conceitos básicos sobre o triângulo

As funções trigonométricas trabalham com os ângulos em um triângulo; por isso, nesta parte vamos rever os conceitos relacionados ao triângulo.

Na figura vemos um triângulo formado pelos vértices A, B e C; trata-se, então, do triângulo ABC. Encontramos aqui três lados: AB, BC, AC. Observe também que esses lados ainda recebem nomes com letras minúsculas. Essa nomeação tem a sua regra — em frente ao vértice A temos o lado a. Em frente ao vértice B está o lado b e em frente ao vértice C está o lado c. Assim, a partir de um vértice sempre se nomeia o lado oposto; aquele lado que não é formado por esse vértice.

Todo triângulo tem três ângulos internos, que costumamos indicar pelas letras gregas alfa α, beta β e gama γ. A soma dos três ângulos internos sempre deve dar 180 graus. No vértice A temos geralmente o ângulo alfa, em B o beta e em C o gama.

Embora possamos usar de algum modo as funções trigonométricas em qualquer triângulo, muitas vezes trabalhamos apenas com o triângulo retângulo. Triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto, isto é, de medida 90 graus. Por exemplo, é assim:

O triângulo retângulo tem lados com nomes especiais. O lado mais longo fica em frente ao ângulo reto e chama-se hipotenusa (o lado azul na figura). Os dois lados mais curtos chamam-se catetos (os lados vermelhos). Esse triângulo é o que mais nos interessará neste artigo.

Nomes dos catetos no triângulo

Passemos aos poucos à primeira função trigonométrica, a função seno. Todas as funções trigonométricas nos mostram a relação entre algum ângulo do triângulo e a razão entre os comprimentos de dois lados. Em geral, não se trata do ângulo reto, mas dos outros dois. A entrada da função trigonométrica é, portanto, a medida do ângulo. A saída é a razão entre dois lados. As funções diferem conforme os lados com que trabalham.

A função seno trabalha com o cateto oposto e a hipotenusa. A figura seguinte mostra o que são o cateto adjacente e o cateto oposto em relação a um dado ângulo.

Na figura trabalhamos com o ângulo beta, isto é, com o ângulo no vértice B. O lado preto é a hipotenusa, nela nada muda. O lado c destacado em vermelho é o cateto adjacente, porque é adjacente ao ângulo beta. O lado b destacado em azul é o cateto oposto, porque está em frente ao ângulo beta. O importante é que esses conceitos se referem sempre a um ângulo. Se olharmos para a figura do ponto de vista do ângulo gama, obteremos este resultado:

A função seno

O seno do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa. O que isso significa? Se calcularmos (em uma calculadora, por exemplo) o seno do ângulo alfa, obtemos o valor do quociente

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto oposto}}{\text{Comprimento da hipotenusa}}$$

Vamos tentar com este triângulo e o ângulo beta: É um triângulo bonito, os comprimentos dos lados são: |a| = 5, |b| = 3 e |c| = 4. O cateto oposto ao ângulo beta é o lado b, a hipotenusa é o lado a. Calculamos o quociente b/a, isto é, 3/5, que é 0,6. O seno do ângulo beta é, portanto, igual a 0,6. O ângulo beta mede 36° 52′; se você digitar esse ângulo na calculadora e calcular o seno, obterá justamente 0,6 (após um pequeno arredondamento). Você pode conferir o resultado na calculadora de seno.

Para que isso serve

Serve quando você conhece um ângulo e o comprimento de um lado e precisa calcular os lados restantes.

Primeiro escrevemos o que de fato sabemos. Conhecemos o ângulo alfa. Sabemos que o seno desse ângulo é igual à razão entre o cateto oposto (que é o lado a) e a hipotenusa (o lado b). Escrito matematicamente:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Conhecemos o seno do ângulo (ou melhor, podemos calculá-lo) e conhecemos o comprimento do lado a. A única coisa que não conhecemos é o comprimento do lado b. Vamos, então, tentar isolar essa variável. Primeiro multiplicamos a equação pelo comprimento do lado b. Obtemos

$$|b|\cdot \mathrm{sen}(\alpha )=|a|$$

e agora basta dividir a equação por sen(α) e obtemos a forma desejada, com o comprimento do lado b no lado esquerdo:

$$|b|=\frac{|a|}{\mathrm{sen}(\alpha )}.$$

Conhecemos o comprimento do lado a: ele é igual a três. O seno de trinta graus é igual a um meio. Substituímos:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

O lado b tem comprimento seis.

A função cosseno

O cosseno é muito parecido com a função seno. A terminologia em torno da função cosseno é a mesma da parte anterior, então passemos à definição:

O cosseno do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa. Assim, se na calculadora calculamos o cosseno do ângulo alfa, obtemos o valor do quociente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{comprimento do cateto adjacente}}{\text{comprimento da hipotenusa}}.$$

De forma clara, a diferença entre o seno e o cosseno é mostrada na figura seguinte:

As duas funções trabalham com a hipotenusa do triângulo, que continua preta. O seno trabalha com o cateto oposto, que é — em relação ao ângulo alfa — o lado vermelho BC. O cosseno trabalha com o cateto adjacente, que é o lado azul AB.

Voltemos ao exemplo descrito no capítulo anterior. Tínhamos de calcular o comprimento da hipotenusa, sabendo o comprimento do lado a. Vamos tentar agora calcular o comprimento do lado c, sabendo o ângulo alfa e o comprimento da hipotenusa, que acabamos de calcular no exemplo anterior: b = 6.

O que sabemos? O ângulo alfa mede 30 graus, o comprimento do lado b é igual a seis e o cosseno nos dá a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. O cateto adjacente é o lado c, que é o lado cujo comprimento queremos descobrir. Escrevemos:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Precisamos isolar |c| na equação. Fazemos isso multiplicando a equação pelo comprimento do lado b, com o que no lado direito sobra apenas o comprimento do lado c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Basta trocar os lados:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

No lado direito temos expressões que ou conhecemos ou sabemos calcular. O cosseno de trinta graus é aproximadamente 0,866 (veja a calculadora de cosseno). Substituímos na equação:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Esse é o comprimento do lado c. Como veremos adiante, o cosseno de trinta graus é um dos valores dos ângulos notáveis, igual a

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

então podemos tornar o comprimento anterior mais preciso:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangente e cotangente

Existem ainda duas outras funções trigonométricas, a tangente e a cotangente. A principal diferença em relação às funções trigonométricas anteriores é que a tangente e a cotangente trabalham apenas com os catetos, não trabalham com a hipotenusa.

A tangente do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente. A tangente costuma ser indicada por tg (ou tan).

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto oposto}}{\text{Comprimento do cateto adjacente}}$$

A cotangente do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento do cateto oposto. A cotangente costuma ser indicada por cotg (ou cot).

$$\mathrm{cotg}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto adjacente}}{\text{Comprimento do cateto oposto}}$$

A terminologia é de novo a mesma das partes anteriores, e o trabalho posterior com as funções também é o mesmo. Voltemos ao exemplo anterior e tentemos calcular o comprimento do lado c apenas a partir da medida do ângulo alfa e do comprimento do lado a, que é a = 3.

A tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, então escrito matematicamente ficará assim:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Precisamos calcular o comprimento do lado c, então devemos isolar dessa equação a expressão |c|. Multiplicamos por |c| e dividimos por tg(α), de modo semelhante aos exemplos anteriores.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \mathrm{tg}(\alpha )& =& |a|/:\mathrm{tg}(\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\mathrm{tg}(\alpha )}\end{array}$$

Substituímos no lado direito, em que a tangente de trinta graus é aproximadamente igual a 0,5773 (veja a calculadora de tangente).

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

A tangente de trinta graus também é um valor dos ângulos notáveis; vale que:

$$\mathrm{tg}({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

então podemos fazer o cálculo anterior de forma exata:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Ângulos notáveis

O seno, o cosseno, a tangente e a cotangente têm, para alguns ângulos bonitos, os chamados ângulos notáveis, valores bonitos. Aqui está um resumo básico:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{cotg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Veja também

Conceitos relacionados aqui no site:

• Ângulo orientado
• Radiano