Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é talvez o teorema mais famoso de toda a matemática. Sobre o próprio Pitágoras de Samos você pode ler em outro lugar. Agora vamos nos dedicar aos triângulos.

Área do quadrado construído sobre o lado de um triângulo

O teorema de Pitágoras nos diz uma relação útil entre as áreas dos quadrados que construímos sobre os lados de um triângulo retângulo. Imagine que temos este triângulo retângulo:

A malha quadriculada ao fundo nos dá as dimensões do triângulo. Vale que o comprimento do cateto AC é igual a 4 e o comprimento do cateto BC é igual a 3. Mas qual é o comprimento do lado AB, a hipotenusa do triângulo? À primeira vista não conseguimos descobrir o comprimento. Mas podemos tentar calculá-lo.

Primeiro construímos o quadrado sobre o cateto BC. Com isso queremos dizer que construímos um quadrado cujos lados têm todos comprimento igual ao do lado BC, isto é, três. Na figura, desenharíamos assim:

Surgiu o quadrado BCDE, cujos lados têm todos comprimento 3. Qual é a área de um quadrado assim? Calculamos a área do quadrado multiplicando os comprimentos de dois lados do quadrado, então a área do quadrado BCDE é igual a 3 · 3 = 9. Desenhamos na figura o quadrado sobre o outro cateto, o cateto AC. Esse quadrado terá lados de comprimento 4.

Esse quadrado terá área 4 · 4 = 16. Agora desenhamos o último quadrado, sobre a hipotenusa AB:

Ainda não sabemos qual será a área desse novo quadrado, porque não conhecemos o comprimento do lado AB. Mas agora podemos usar muito bem o teorema de Pitágoras. Ele diz justamente que a área desse último quadrado ABHI é igual à soma das áreas dos dois quadrados anteriores. Ou seja, os dois primeiros quadrados tinham áreas 9 e 16, então o último quadrado — segundo o teorema de Pitágoras — tem área 9 + 16 = 25. Desenhamos na figura:

E agora só falta responder à última pergunta — se o quadrado ABHI tem área 25, qual é o comprimento dos lados desse quadrado? Deve ser a raiz quadrada de 25, então o comprimento do lado AB é igual a $\sqrt{25}=5$. Se conferirmos de volta e calcularmos a área de um quadrado de lado 5, obtemos a área 5 · 5 = 25. E agora já podemos passar aos números e às definições.

Definição

O teorema de Pitágoras diz mais ou menos assim: “A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os seus catetos”. Matematicamente, esse teorema costuma ser escrito assim

$$c^2=a^2+b^2,$$

em que a e b são os comprimentos dos catetos em um triângulo e c é o comprimento da hipotenusa.

O que o teorema de Pitágoras diz, então, e como essa notação se relaciona com a figura anterior? A área do quadrado sobre um lado do triângulo significa que pegamos o quadrado cujo lado tem comprimento igual ao comprimento desse lado e calculamos a sua área. Calculamos a área do quadrado multiplicando um comprimento de lado pelo outro comprimento de lado; ou seja, se o lado tem comprimento c, a área A será igual a: A = c · c, o que podemos escrever com o auxílio de potências como A = c².

Assim, podemos ler a notação c² = a² + b² justamente como “a área do quadrado de lado c é igual à soma das áreas dos quadrados de lados a e b”.

Mais uma vez destaco que o teorema vale apenas no triângulo retângulo, e não em um triângulo qualquer. O teorema de Pitágoras é usado classicamente nos casos em que você conhece a medida de dois lados e precisa calcular o comprimento do lado restante. Se conhecemos o comprimento dos dois catetos a e b e queremos obter o comprimento da hipotenusa c, então calculamos as áreas sobre os catetos, isto é, calculamos a² + b². Com isso obtemos a área do quadrado sobre a hipotenusa c, ou seja, obtemos c². Para obter o comprimento do lado c, basta extrair a raiz quadrada da área calculada. Obtemos assim a fórmula:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

em que c é o comprimento da hipotenusa e a, b são os comprimentos dos catetos. Se, ao contrário, conhecêssemos o comprimento da hipotenusa e de um cateto e quiséssemos calcular o comprimento do outro cateto, calcularíamos do mesmo modo, só que primeiro isolaríamos um dos catetos na equação dada. Então, se conhecemos c e b e queremos calcular a, na equação

$$c^2=a^2+b^2,$$

isolamos a² subtraindo b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

trocamos o primeiro e o segundo membro:

$$a^2=c^2-b^2$$

e por fim extraímos a raiz quadrada:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Primeiro exemplo

Seja o triângulo ABC, do qual conhecemos os comprimentos de dois lados: a = 3 e b = 4. É o mesmo triângulo que tínhamos no início. A pergunta é: qual é o comprimento do lado restante, o lado c? Vamos tentar calcular com a fórmula apresentada. O triângulo é mostrado na figura a seguir:

Vemos que conhecemos os comprimentos dos dois catetos e falta o comprimento da hipotenusa. Por isso usamos a primeira fórmula, a não modificada:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Substituímos as variáveis a e b pelos comprimentos dos lados:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Na fórmula temos o quadrado de um número — para lembrar, vale a seguinte relação:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Assim, depois de calcular os quadrados, obtemos:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

O resultado é que o comprimento do lado c é igual a cinco.

Segundo exemplo

Neste exemplo vamos tentar calcular o comprimento de um dos catetos, se conhecemos um cateto e, além disso, o comprimento da hipotenusa. Então temos o triângulo ABC com lados de comprimentos |AC| = 10 e |BC| = 6. O triângulo é mostrado na figura a seguir:

Pela figura vemos que a hipotenusa, isto é, o lado mais longo, é o lado |AC|. Precisamos calcular o comprimento do lado |AB|. Substituímos na segunda fórmula, a do cálculo do comprimento de um cateto:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Para usar o teorema de Pitágoras corretamente, precisamos agora ter claro o que cada variável indica. Nessa fórmula, a variável a é o comprimento do lado que queremos calcular, no nosso caso o lado |AB|. A variável c é o comprimento da hipotenusa, o lado mais longo, no nosso caso o lado |AC|. E a variável b é o comprimento do cateto cujo comprimento conhecemos, no nosso caso |BC|. Por isso substituímos na fórmula assim:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Substituímos os comprimentos concretos dos lados que conhecemos:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Calculamos as potências e subtraímos:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

E por fim extraímos a raiz quadrada:

$$|AB|=8$$

O comprimento do lado |AB| é igual a oito.

Problema com enunciado

Imagine que você vai à casa de uma amiga por uma estrada reta. Essa estrada tem 250 metros de comprimento. Depois desse quarto de quilômetro, você dobra à esquerda e anda mais 100 metros, e está na casa da sua boa amiga. A pergunta é: quanto mais curto será o caminho se você for em linha reta, atravessando o campo?

Como primeiro passo, calculamos o comprimento do caminho se você for pela rua. Você anda primeiro 250 metros em frente e depois 100 metros à esquerda. Isso dá, no total, 250 + 100 = 350 metros. Agora é a vez do cálculo do comprimento do caminho pelo campo. Para isso vamos precisar de uma figura.

Cada quadradinho da figura representa 50 metros. Como seria o caminho direto pelo campo? Seria um segmento do ponto A ao ponto C. Desenhamos na figura em vermelho.

Agora já vemos que, para calcular o comprimento do caminho pelo campo, basta aplicar adequadamente o teorema de Pitágoras. Procuramos o comprimento da hipotenusa e conhecemos o comprimento dos dois catetos, então usamos a primeira fórmula e substituímos assim:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Substituímos os comprimentos:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Elevamos ao quadrado:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Extraímos a raiz quadrada e arredondamos:

$$|AC|=269$$

O comprimento do caminho pelo campo é 269 metros. O exemplo ainda não terminou: a pergunta era quanto mais curto é o caminho pelo campo. Subtraímos, então, os comprimentos um do outro e indicamos a diferença por r:

$$r=350-269=81$$

A resposta é que o caminho é mais curto em aproximadamente 81 metros.

Comprimento do lado de um quadrado

Qual é o comprimento do lado de um quadrado cuja diagonal mede dez? Como o teorema de Pitágoras nos ajuda nisso? Precisamos encontrar no quadrado algum triângulo retângulo que possamos usar para calcular o comprimento do lado do quadrado. Só para lembrar: o quadrado tem quatro lados de mesmo comprimento. Vamos desenhar a situação atual:

Vemos que no quadrado surgiram de repente dois triângulos que têm ângulo reto e que poderíamos usar para calcular o comprimento do lado. Pegue, por exemplo, o triângulo BCD. O lado DB é a hipotenusa e os outros dois são catetos. Não conhecemos os comprimentos dos catetos, mas conhecemos o comprimento da hipotenusa. Esses catetos têm o mesmo comprimento, ou seja, |BC| = |CD|. Usamos o teorema de Pitágoras básico:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Mas, como os catetos são iguais, basta calcularmos o quadrado de um cateto e multiplicá-lo por dois — não precisamos calcular o quadrado dos dois catetos, porque são iguais e daria o mesmo resultado. Podemos escrever, então:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Conhecemos o comprimento do lado BD, que é a hipotenusa. O comprimento é igual a dez. Substituímos na equação:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Elevamos o dez ao quadrado:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Dividimos por dois:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Simplificamos a fração:

$$50=|BC{|}^2$$

Agora já estamos quase no fim. Sabemos que o quadrado do comprimento do lado do quadrado é igual a 50. Para descobrir o comprimento do lado, precisamos ainda extrair a raiz quadrada da equação, o que podemos fazer porque estamos trabalhando com números positivos:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Deixamos a raiz quadrada de cinquenta nessa forma, mas no segundo membro da equação podemos eliminar a raiz e o quadrado, porque se cancelam mutuamente.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Se quiser, você pode extrair também a raiz de cinquenta. Arredondando, daria sete:

$$7=|BC|$$

Portanto, vale que o comprimento do lado do quadrado é aproximadamente sete, e exatamente a raiz quadrada de cinquenta.

Calculadora

Você calcula a hipotenusa a partir dos dois catetos, e o cateto, a partir da hipotenusa e do outro cateto. Em cada campo você pode trocar as unidades.