Matricea de trecere

Dacă avem un spațiu vectorial V și două baze ale sale, putem exprima un vector al spațiului ca o combinație a vectorilor din ambele baze. Matricea de trecere ne ajută apoi să convertim o exprimare în cealaltă.

Motivație

Fie un spațiu vectorial n-dimensional V și două baze diferite ale sale, E = {e₁, …, e_n} și F = {f₁, …, f_n}. Alegem apoi un vector x din V. Deoarece x este din spațiul V și deoarece E și F sunt baze ale acestui spațiu, trebuie să existe coeficienții a₁, …, a_n astfel încât:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

și totodată trebuie să existe coeficienții b₁, …, b_n astfel încât:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

În primul caz exprimăm vectorul x cu ajutorul bazei E, în al doilea caz cu ajutorul bazei F. Folosim două baze diferite pentru a exprima x, deci obținem totodată două seturi diferite de coeficienți, a_i și b_i. Apare întrebarea: dacă știm coeficienții b_i, există vreo modalitate de a obține din ei coeficienții a_i, adică exprimarea în raport cu cealaltă bază?

Da, pentru asta există așa-numita matrice de trecere.

Cum obținem matricea de trecere

Rămânem la aceeași situație: avem spațiul V și două baze, E = {e₁, …, e_n} și F = {f₁, …, f_n}. Deoarece E este o bază a spațiului V, cu siguranță și toți vectorii f₁, …, f_n se vor putea exprima ca combinații liniare ale vectorilor din baza E. Vectorii f₁, …, f_n fac, ce-i drept, parte din baza F, dar sunt totodată elemente obișnuite ale spațiului V, deci trebuie să avem:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Rescriem acum aceste ecuații într-o matrice astfel încât pe prima coloană a matricei să fie coeficienții vectorului $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, adică a_i1, pe a doua coloană coeficienții vectorului $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, adică a_i2, și așa mai departe. Obținem matricea:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

O astfel de matrice se numește matricea de trecere de la baza E la baza F. Dacă avem un vector x = (x₁,…, x_n) din V, care are în raport cu baza F coeficienții b₁, …, b_n, atunci coeficienții a₁, …, a_n în raport cu baza E îi obținem astfel:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Exemplu

Vom lucra în spațiul vectorial ℝ³. Alegem ca prima bază baza standard E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, iar ca a doua bază F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Matricea de trecere de la baza E la baza F va avea forma

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Acum alegem un vector oarecare x ∈ ℝ³, de exemplu x = (12, 41, 28). Acesta are în raport cu baza F coeficienții b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Efectuăm deci produsul matricelor:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

În raport cu baza E, vectorul x are coeficienții a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Deci avem:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$