Subspațiu vectorial

Un subspațiu vectorial este o submulțime a unui spațiu vectorial, care rămâne în continuare închisă la adunare și la înmulțirea cu un scalar.

Definiție

Fie V un spațiu vectorial. Un subspațiu vectorial W ar fi atunci o submulțime a spațiului V, iar mulțimea W ar fi totodată ea însăși un spațiu vectorial. O submulțime nevidă W ⊆ V trebuie deci să îndeplinească următoarele două condiții pentru a fi subspațiu vectorial al lui V: pentru orice x, y ∈ W și orice a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Trebuie deci să alegem din V o submulțime ai cărei vectori să fie închiși la adunare și la înmulțire.

Un subspațiu al lui ℝ³

Încercăm să luăm spațiul ℝ³ și să găsim un subspațiu.

1. Ce zici de toate tripletele de forma (a, a, a), unde a ∈ ℝ? Adică tripletele precum $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ sau (−π, −π, −π). Un astfel de subspațiu, să-l notăm W₁, ar fi o submulțime a spațiului ℝ³, adică W₁ ⊆ ℝ³, pentru că ℝ³ conține pur și simplu toate tripletele.

Un astfel de spațiu ar fi închis la adunarea vectorilor, deoarece

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

După adunarea a doi vectori obținem un vector nou, care are din nou trei componente egale, iar un astfel de vector se află în mulțimea W₁. Mulțimea W₁ îndeplinește deci prima condiție a subspațiului vectorial. O îndeplinește însă și pe a doua?

Da, o îndeplinește, deoarece înmulțirea cu k schimbă toate cele trei componente ale vectorului, dar le schimbă exact la fel:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Obținem din nou un vector care are toate cele trei componente egale, iar un astfel de vector este în mulțimea W₁. Mulțimea W₁ este deci un subspațiu vectorial al lui ℝ³.

• Putem încerca să luăm toate tripletele (a, b, c) astfel încât a, b, c ∈ [−1, 1]. Notăm această mulțime cu W₂, iar elementele ei sunt, de exemplu, tripletele $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ sau $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Sunt elementele lui W₂ închise la adunare? Cu siguranță nu, deoarece $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ este egal cu tripletul $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, care nu aparține lui W₂. Mulțimea W₂ nu formează deci un subspațiu al lui ℝ³, mai mult, mulțimea W₂ nu formează deloc un spațiu.

• Acum luăm toate tripletele de forma (a, 0, b), unde a, b ∈ ℝ. Sunt toate tripletele care au a doua componentă nulă. Notăm această mulțime cu W₃. Este această mulțime închisă la adunare? Da, este, deoarece

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Rezultatul este tripletul (a + c, 0, b + d), care are a doua componentă nulă, iar pe celelalte două se află numere reale. Acest triplet se află cu siguranță în W₃. Este W₃ închisă la înmulțire? Da, este, deoarece

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Obținem din nou tripletul (k · a, 0, k · b), care are a doua componentă mereu nulă, iar celelalte componente sunt numere reale. Un astfel de triplet este element al lui W₃. Mulțimea W₃ formează deci un subspațiu al lui ℝ³. Observă că și dacă tripletele ar avea forma (a, b, 0) sau (a, 0, 0), ele ar forma de asemenea un subspațiu vectorial.

Subspațiul polinoamelor

În articolul anterior am prezentat spațiul vectorial format din polinoame. Să recapitulăm: un polinom este o expresie de forma

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Presupunem că a_n ≠ 0. Gradul unui astfel de polinom este atunci chiar numărul n. Numerele reale a₀, …, a_n se numesc coeficienții polinomului. Un exemplu de polinom este expresia 4 + 3x − 7x². Încercăm să găsim un subspațiu vectorial. Fie deci spațiul vectorial P(x) al tuturor polinoamelor.

1. Mai întâi încercăm mulțimea tuturor polinoamelor de gradul n, unde n ≥ 0; notăm această mulțime cu W₁. În articolul anterior am spus deja că nu este deloc un spațiu vectorial, deci cu greu ar putea fi subspațiu vectorial al lui P(x). Să repetăm: dacă, de exemplu, înmulțim un polinom din W₁ cu zero, obținem polinomul p(x) = 0, care are prin definiție gradul −1. Acest element nu se află deci în niciun W₁.

2. Pentru W₂ încercăm să luăm toate polinoamele de gradul n și mai mic. Astfel, pentru n = 2, în W₂ vor fi toate polinoamele de gradele 2, 1, 0, −1. Este această mulțime închisă la adunare? Da, este, deoarece suma a două polinoame de gradul n nu va avea niciodată gradul mai mare decât n, poate avea doar un grad mai mic. La fel, această mulțime este închisă la înmulțire, deoarece produsul oricărui polinom p(x) cu un număr k poate avea ca rezultat fie un polinom de același grad, fie polinomul nul. Ambele posibilități sunt acoperite de mulțimea W₂, deci W₂ formează un subspațiu al lui P(x).

Proprietăți de bază ale subspațiilor

Fie un spațiu vectorial V și două subspații ale sale, W₁ și W₂. Atunci avem că

1. Intersecția W₁ ∩ W₂ este un subspațiu vectorial al lui V.

   Fie spațiul vectorial ℝ³ și subspațiile W₁ și W₂ astfel încât W₁ este format din triplete de forma (a, b, 0), iar W₂ din triplete de forma (a, 0, b), unde a, b ∈ ℝ. Intersecția W₁ ∩ W₂ va fi atunci mulțimea care conține triplete de forma (a, 0, 0) – o astfel de mulțime este evident un subspațiu al lui ℝ³.

   Asta însă nu este, desigur, o demonstrație. Aceasta ar arăta astfel: luăm un spațiu vectorial oarecare V și două subspații ale sale, W₁ și W₂. Vrem să demonstrăm acum că pentru orice x, y ∈ W₁ ∩ W₂ avem x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Deoarece vectorii x și y se află în intersecția W₁ ∩ W₂, trebuie cu siguranță să avem x, y ∈ W₁ și totodată x, y ∈ W₂ (aceasta rezultă din definiția intersecției mulțimilor). Deoarece W₁ și W₂ sunt totodată spații vectoriale, trebuie să avem și x + y ∈ W₁, și totodată x + y ∈ W₂ (aceasta rezultă din definiția spațiilor vectoriale). Acum avem însă x + y ∈ W₁ și totodată x + y ∈ W₂, de unde rezultă x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (din nou pe baza definiției intersecției mulțimilor – dacă un element se află în mulțimea W₁ și se află și în mulțimea W₂, trebuie să se afle și în intersecția lor).

   În continuare trebuie să verificăm închiderea la înmulțire. Trebuie să demonstrăm că pentru orice k ∈ ℝ și x ∈ W₁ ∩ W₂ avem k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Procedeul este același. Deoarece x ∈ W₁ ∩ W₂, avem totodată x ∈ W₁ și x ∈ W₂. Deoarece W₁ și W₂ sunt spații, avem k · x ∈ W₁ și totodată k · x ∈ W₂, deci k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Reuniunea W₁ ∪ W₂ nu este neapărat un subspațiu al lui V.

   Pentru a demonstra a doua proprietate, este suficient să găsim un contraexemplu potrivit. Ne descurcăm cu spațiile W₁ și W₂ de mai sus, care au triplete de forma (a, b, 0), respectiv (a, 0, b). Dacă facem reuniunea lor, obținem toate tripletele care trebuie să aibă zero pe locul al doilea sau al treilea. Vectorii (1, 0, 1) și (1, 1, 0) se află deci cu siguranță în reuniunea W₁ ∪ W₂. Suma lor este însă egală cu vectorul (2, 1, 1), care nu are zero nicăieri. Acest vector nu se află nici în W₁, nici în W₂, deci nu poate fi nici în W₁ ∪ W₂. Am găsit astfel doi vectori a căror sumă nu aparține aceleiași mulțimi, deci nu poate fi vorba de un spațiu vectorial.