Asociativitatea

Asociativitatea este o proprietate a operațiilor cum sunt, de exemplu, adunarea sau înmulțirea. Uită-te cu atenție la următoarele două scrieri ale adunării:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Expresiile diferă doar prin locul parantezei. Diferă oare și rezultatele? Ambele expresii duc la același rezultat, suma este întotdeauna egală cu 6. Dacă așezarea parantezelor nu influențează rezultatul, spunem că operația este asociativă. Mai exact, putem scrie că operația a ∘ b este asociativă dacă

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

O altă operație asociativă este înmulțirea, pentru că

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operații care nu sunt asociative

Scăderea nu este asociativă. Ca exemplu, putem lua expresia (10 − 4) − 3. Mai întâi calculăm diferența din paranteză și obținem 6 − 3, adică 3. Dacă însă încercăm să calculăm 10 − (4 − 3), calculăm din nou mai întâi conținutul parantezei și obținem 10 − 1, adică 9. Operația de scădere nu este deci asociativă.

La fel, nici împărțirea nu este asociativă. Ca exemplu, luăm expresia (64 : 4) : 2. Calculăm mai întâi paranteza și obținem 16 : 2, adică 8. Dacă însă punem paranteza în altă parte, obținem 64 : (4 : 2), iar după calcularea parantezei avem 64 : 2, adică 32. Operația de împărțire nu este deci asociativă.

O altă operație tipică care nu este asociativă este ridicarea la putere:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Asociativitatea se referă la o singură operație!

Fii atent că asociativitatea se referă întotdeauna la o singură operație. Dacă avem o expresie cu trei numere, dar operațiile nu sunt aceleași, nu putem aplica regula asociativității. De exemplu:

$$(1+2)\cdot 3$$

expresia conține două operații – adunarea și înmulțirea. Ambele operații sunt asociative în sine, dar totuși în acest moment nu putem aplica regula asociativității, nu putem transforma expresia în

$$1+(2\cdot 3)$$

pentru că expresia conține două operații diferite. Ca să putem aplica regula asociativității, ar trebui ca ambele operații să fie adunări sau ambele să fie înmulțiri.

Intersecția și reuniunea

Intersecția mulțimilor este asociativă. De exemplu:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

am transforma-o mai întâi calculând intersecția mulțimilor din paranteză în

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Iar intersecția acestor mulțimi este egală cu {1}. Dacă am schimba parantezele, am obține

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

iar după calcularea parantezei:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Și din nou am obține {1}. Vedem că așezarea parantezelor nu contează și de aceea intersecția mulțimilor este asociativă. În mod asemănător ar fi asociativă și reuniunea mulțimilor.

Compunerea cuvintelor / concatenarea

Imaginează-ți că am avea o operație de adunare pentru părți de cuvinte, care ar însemna pur și simplu alăturarea cuvintelor. Deci „foto” + „grafie” ar fi egal cu cuvântul „fotografie”. O astfel de operație ar fi asociativă. De exemplu, dacă am scrie („cal” + „cu”) + „lator”, am obține mai întâi, adunând paranteza, „calcu” + „lator”, ceea ce ne-ar da cuvântul „calculator”. Dacă am schimba parantezele, „cal” + („cu” + „lator”), după adunarea din paranteză am obține „cal” + „culator”, ceea ce ne-ar da din nou cuvântul „calculator”.

Maximul sau minimul este asociativ

Să ne imaginăm operația a ∨ b, care ne returnează cel mai mare dintre două numere. O astfel de operație ar fi asociativă. De exemplu, (5 ∨ 10) ∨ 7 l-am transforma în 10 ∨ 7, iar acesta ar fi egal cu 10. Zece este cel mai mare dintre cele trei numere. Dacă am reașeza parantezele, am obține 5 ∨ (10 ∨ 7), după transformare 5 ∨ 10, ceea ce este din nou 10.

Minimul s-ar comporta exact la fel.