Triunghiul dreptunghic

Triunghiul dreptunghic are un unghi interior drept, adică de 90 de grade. Acest triunghi are câteva proprietăți interesante, despre care vorbim în acest articol.

Descriere de bază

Triunghiul dreptunghic a fost descris parțial în articolul principal despre triunghiuri. Triunghiul dreptunghic are un unghi interior de 90 de grade. Celelalte două unghiuri interioare trebuie să măsoare neapărat mai puțin de 90 de grade, pentru că altfel suma unghiurilor interioare nu ar fi 180 de grade. Mai mult, suma celor două unghiuri rămase este exact 90 de grade.

Triunghiul dreptunghic are, desigur, trei laturi. Două dintre ele se numesc catete (laturile roșii) – sunt laturile mai mici – iar a treia latură se numește ipotenuză (latura albastră) – este cea mai lungă latură. Ipotenuza este întotdeauna opusă vârfului în care se află unghiul drept.

Teorema lui Pitagora

Probabil cea mai celebră teoremă din matematică, teorema lui Pitagora, este valabilă tocmai în triunghiul dreptunghic. Teorema lui Pitagora se ocupă de lungimile laturilor triunghiului. Ea spune că „Aria pătratului construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele lui”. Scris matematic pentru triunghiul nostru, în care ipotenuza este latura a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Teorema lui Pitagora în figură, de data aceasta în notația obișnuită, cu ipotenuza c: Teoremei îi este dedicat un articol separat.

Aria triunghiului dreptunghic

În triunghiul dreptunghic putem calcula foarte simplu aria, pentru că înălțimile coincid cu catetele. Gândește-te la triunghiul dreptunghic din prima figură. Cum i-am calcula aria fără să cunoaștem vreo înălțime? Putem completa triunghiul astfel încât să obținem un dreptunghi. Laturile dreptunghiului vor fi formate din catetele triunghiului, iar celelalte două laturi le completăm astfel încât să obținem într-adevăr un dreptunghi: Aria dreptunghiului știm deja să o calculăm: este produsul lungimilor a două laturi alăturate, în cazul nostru produsul laturilor roșii AC și AB. Astfel obținem aria dreptunghiului. Ipotenuza BC este însă diagonala dreptunghiului, care împarte dreptunghiul în două părți egale, așa că, dacă împărțim aria dreptunghiului la doi, obținem aria triunghiului dreptunghic. Formula arată deci astfel:

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

unde b și c sunt lungimile catetelor.

Funcțiile trigonometrice sinus și cosinus

În triunghiul dreptunghic se pot folosi funcțiile trigonometrice de bază și relațiile dintre ele. Funcțiile trigonometrice – sinus, cosinus, tangentă și cotangentă – exprimă raportul dintre lungimile laturilor triunghiului dreptunghic. Să ne uităm încă o dată la primul triunghi, de data aceasta cu unghiurile evidențiate.

Dacă vrem să aflăm raportul lungimilor a două laturi, luăm cele două lungimi și le împărțim în ordinea dată. De exemplu, raportul lungimilor laturilor b:c (se citește „b la c”) îl obținem împărțind 3/5 (latura b are lungimea 3, latura c are lungimea 5).

Funcția sinus lucrează cu raportul a două laturi și cu un unghi. Pentru figura noastră: dacă luăm raportul laturilor b:a, obținem valoarea funcției sinus aplicate unghiului β. Cosinusul funcționează asemănător, doar că pentru raportul c:a și același unghi β. Avem deci:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Funcțiile sinus și cosinus lucrează în triunghiul dreptunghic numai cu unghiurile mai mici de 90 de grade. În acest caz, cu unghiurile β și γ. În acest domeniu, sinusul și cosinusul dau întotdeauna un număr din intervalul (0, 1), de unde poți reține regula că împarți întotdeauna latura mai scurtă la cea mai lungă – ca să obții un număr chiar din intervalul (0, 1).

Ambele funcții lucrează în același timp cu o catetă și cu ipotenuza, niciodată cu două catete deodată. Cum împărțim mereu latura mai scurtă la cea mai lungă, ipotenuza va fi întotdeauna la numitorul fracției. Dacă te uiți la formulele de deasupra acestui paragraf, la numitor apare mereu a, adică ipotenuza triunghiului.

Ultima regulă este că sinusul lucrează cu cateta opusă, iar cosinusul cu cateta alăturată. Ce înseamnă asta? Dacă avem unghiul β, cateta alăturată este cateta care pornește din punctul B, adică cateta c. Cateta opusă este cealaltă catetă, cateta b. De aceea în formula sinusului apare latura b, iar în cea a cosinusului latura c.

Pe scurt: sinusul dă raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, cosinusul raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Cum putem folosi asta? Dacă știm unghiurile triunghiului și lungimea ipotenuzei sau a unei catete, putem calcula lungimile celorlalte laturi. Exemplu:

În triunghiul de mai sus avem:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Care este lungimea laturii a? Știm că:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Valoarea sinusului o cunoaștem, lungimea laturii b o cunoaștem și ea, iar lungimea laturii a o căutăm. Îl scoatem pe a prin transformări echivalente:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Mai întâi am înmulțit ecuația cu a, apoi am împărțit-o la sinus.) În membrul drept avem acum numai valori cunoscute, deci înlocuim. Valoarea sinusului o calculăm cu calculatorul.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Latura a are lungimea 5,83. Dacă calculezi sinusul cu calculatorul, ai grijă să fie pornit modul pentru grade. Deseori problema este că se calculează în radiani, care sunt o altă unitate de măsură pentru unghiuri. Între ele există însă relația de conversie:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot grade,$$

unde grade este valoarea ta în grade.

Funcțiile trigonometrice tangentă și cotangentă

În triunghiul dreptunghic putem folosi simplu și aceste două funcții. Din nou, lucrăm întotdeauna cu unghiuri mai mici de 90 de grade. Spre deosebire de sinus și cosinus, aceste funcții nu lucrează cu ipotenuza triunghiului, ci numai cu catetele. Tangenta unui unghi este egală cu raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, iar cotangenta cu raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă.

Pentru triunghiul de mai sus avem deci:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{ctg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Să încercăm să calculăm în triunghiul de mai sus lungimea laturii AC (latura b), cu ajutorul unghiului β. Mărimea lui o știm din exemplul precedent. Știm că:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{b}{c}$$

Îl scoatem pe b:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \mathrm{tg}(\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \mathrm{tg}(\beta )\end{array}$$

(Am înmulțit doar ecuația cu c și am inversat membrii.) Acum știm tot ce ne trebuie ca să calculăm lungimea laturii b. Înlocuim:

$$b=c\cdot \mathrm{tg}(\beta )=5\cdot \mathrm{tg}(30,{96}^{\circ })=5\cdot 0,6=3$$

Se vede și din figură că am obținut rezultatul corect. Ai din nou grijă ca în formulă unghiul să fie în grade, în timp ce calculatorul poate cere unghiul în radiani.

Pentru ilustrare, putem calcula aceeași latură și cu ajutorul cotangentei:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{ctg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{ctg}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{ctg}(\beta )}\end{array}$$

Înlocuim valorile:

$$b=\frac{5}{\mathrm{ctg}(30,{96}^{\circ })}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Din nou am obținut rezultatul corect.