Ecuația de gradul al doilea

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație care conține o necunoscută ridicată la puterea a doua. Dacă ecuația conține o necunoscută ridicată la o putere mai mare decât a doua, atunci nu mai este o ecuație de gradul al doilea.

Descrierea ecuației de gradul al doilea

Forma generală a ecuației de gradul al doilea arată astfel:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Valorile a, b, c sunt numere reale, iar a este diferit de zero. Alte denumiri:

• ax² se numește termen pătratic,
• bx se numește termen de gradul întâi (liniar),
• c se numește termen liber.

Orice ecuație de gradul al doilea poate fi adusă la forma generală cu ajutorul transformărilor echivalente sau al altor transformări. Un exemplu de ecuație de gradul al doilea este această ecuație:

$$3x^2-6x+8=0.$$

O întrebare mai dificilă ar putea fi dacă și aceasta este o ecuație de gradul al doilea:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Nu se vede nicăieri x², iar în membrul drept nu avem zero. Membrul drept îl rezolvăm simplu, scădem 7, ceea ce ne dă forma

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Încă nu avem x². Desfacem parantezele și obținem:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Acum avem x². După reducerea termenilor obținem, în sfârșit, forma generală a ecuației de gradul al doilea:

$$x^2+3x-5=0.$$

Dar următorul exemplu, este o ecuație de gradul al doilea? Se poate aduce la forma generală?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Răspunsul este că nu se poate. Dacă înmulțim întreaga ecuație cu variabila x ca să scăpăm de variabila de la numitorul fracției, obținem:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Acum avem x³, ceea ce într-o ecuație de gradul al doilea nu poate apărea.

Există tipuri speciale de ecuații de gradul al doilea, în funcție de valorile coeficienților a, b și c.

Valorile coeficienților

Pentru capitolele următoare este absolut esențial să știi să determini coeficienții a, b și c. Să începem cu un exemplu simplu. Determină coeficienții ecuației 3x² + 4x + 7 = 0. Aici este simplu: a = 3, b = 4 și c = 7.

Ce zici, de exemplu, de ecuația 3x² − x + 2 = 0? Valorile a și c sunt clare, a = 3 și c = 2, dar cât este b? Ar fi o greșeală să scrii că b = 1. Imaginează-ți că în fața lui x se află un 1, astfel: 3x² − 1x + 2 = 0. Acum se vede mai bine că b = −1.

Un alt exemplu interesant: x² − 3 = 0. Aici poate apărea din nou o problemă cu coeficientul b, ceilalți sunt evidenți: a = 1 și c = −3. Cât este coeficientul b? Termenul de gradul întâi nu apare deloc în această ecuație, este ca și cum am scrie ecuația sub forma x² + 0x − 3 = 0. Deci b = 0.

Un exemplu mai complicat:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

În această ecuație sunt două capcane. Nu există termen liber, deci c = 0. Termenul pătratic este clar, deci a = 5. Dar cât este blestematul de b? Putem să mai transformăm puțin ecuația, scoatem factorul comun x din doi termeni astfel:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Coeficientul b este din nou ceea ce se află „în fața” variabilei x, deci întreaga paranteză este egală cu coeficientul b = (3 + π). O ecuație asemănătoare:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Primii doi coeficienți sunt evidenți: a = −1 și b = 4. Care este termenul liber? Sunt expresiile rămase, în care nu apare x. Deci $c=1-\sqrt{2}$. Nu te speria de radical, nu mușcă, este un număr obișnuit.

Și ce valori au coeficienții acestei ecuații? (x + 1)(x + 2) = −2x. Mai întâi trebuie să aducem ecuația la forma generală. Desfacem parantezele și obținem

$$x^2+3x+2=-2x$$

iar la final adunăm 2x la ecuație, ca să obținem zero în membrul drept:

$$x^2+5x+2=0.$$

Valorile sunt acum evidente: a = 1, b = 5, c = 2.

Ecuația de gradul al doilea fără termen de gradul întâi

Dacă b = 0, avem o ecuație de gradul al doilea fără termen de gradul întâi, care se rezolvă asemănător cu ecuația de gradul întâi. Forma generală a acestei ecuații este deci:

$$a{x}^2+c=0$$

Deoarece b = 0, tot termenul de gradul întâi bx dispare din ecuație, pentru că 0x = 0. Rezolvăm ecuația scăzând mai întâi termenul liber. Adică scădem din ecuație valoarea c. Obținem astfel:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Apoi împărțim ecuația la numărul a. Obținem forma:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Și, în sfârșit, extragem radical din întreaga ecuație. Aici trebuie să fie îndeplinită condiția ca fracția din membrul drept să nu fie negativă, pentru că nu se poate extrage radical dintr-un număr negativ. Obținem rezultatul:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Observă că obținem două soluții, una pozitivă și una negativă. Se va vedea mai bine pe un exemplu. Rezolvăm ecuația

$$2x^2-8=0.$$

Conform procedeului, scădem mai întâi termenul c. Atenție, termenul c este în acest caz negativ, deci scădem un număr negativ, adică adunăm unul pozitiv. La întreaga ecuație adunăm deci +8 (scopul este să ducem 8 în membrul drept). Obținem forma:

$$2x^2=8$$

Apoi, conform procedeului, împărțim ecuația la numărul a, adică la 2. După împărțire obținem forma:

$$x^2=4$$

Acum extragem radical.

$$x_1=2,x_2=-2$$

De ce apare și −2? Pentru că (−2) · (−2) = 4. Ne putem uita și la rezolvarea grafică: vedem că graficul funcției 2x² − 8 intersectează axa Ox exact în punctele x₁ = −2 și x₂ = 2.

Rezolvă ecuația

$$80x^2-5=0.$$

Adunăm 5 la ecuație:

$$80x^2=5$$

Împărțim la 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Simplificăm fracția:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Extragem radical:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Ecuația de gradul al doilea fără termen liber

Un alt caz particular de ecuație de gradul al doilea apare atunci când termenul liber c este egal cu zero. Forma generală a ecuației este:

$$a{x}^2+bx=0$$

Acest tip de ecuație se rezolvă prin scoaterea factorului comun al necunoscutei:

$$x(ax+b)=0.$$

Aici se vede deja destul de clar rezultatul. Din nou obținem două soluții ale ecuației, dar una dintre ele va fi întotdeauna zero. Tot membrul stâng este scris sub forma unui produs de două expresii: x și paranteza (ax + b). Când este acest produs egal cu zero? Dacă cel puțin unul dintre acești factori este egal cu zero. Membrul stâng este deci egal cu zero în două cazuri:

$$x=0\text{sau}ax+b=0.$$

Prima soluție a ecuației o avem deci, este zero. Pe cea de-a doua o obținem rezolvând ecuația de gradul întâi ax + b = 0. Din articolul despre ecuațiile de gradul întâi știm că această ecuație are exact o soluție, egală cu:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Putem deci scrie rezultatul întregii ecuații de gradul al doilea ax² + bx = 0:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Exemplu:

$$6x^2+3x=0$$

Scoatem factorul comun x:

$$x(6x+3)=0$$

Prima soluție este x = 0. Pe a doua o găsim rezolvând ecuația de gradul întâi 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Scriem rezultatul:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Ne putem uita din nou la graficul funcției, care intersectează axa Ox exact în aceste puncte:

Alte metode de rezolvare

Acestea au fost procedeele de bază pentru tipurile speciale de ecuații de gradul al doilea. Ecuația de gradul al doilea generală se rezolvă cu ajutorul discriminantului. Printre alte tipuri de ecuații se numără ecuația de gradul al doilea cu parametru.

Calculator

Introdu coeficienții a, b și c ai ecuației generale ax² + bx + c = 0, iar calculatorul îți va calcula discriminantul și soluțiile. Îl găsești și separat ca calculatorul ecuației de gradul al doilea.