Discriminantul

Discriminantul este un polinom cu ajutorul căruia putem calcula soluțiile unei ecuații de gradul al doilea generale sau putem stabili dacă ecuația are soluții și câte.

Formula și relațiile de bază

Mai întâi reamintim forma generală a ecuației de gradul al doilea:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

unde a, b, c sunt numere reale. Discriminantul, pe care îl notăm cu Δ, se calculează astfel:

$Δ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Exemplu: fie ecuația de gradul al doilea 3x² + 5x − 7 = 0. Pentru această ecuație avem: a = 3, b = 5, c = −7. Discriminantul îl calculăm astfel:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Rezultatul este deci 109. Ce ne spune acest număr? Dacă discriminantul este…

pozitiv, atunci ecuația are două soluții reale distincte,
nul, atunci ecuația are două soluții reale egale,
negativ, atunci ecuația nu are nicio soluție în mulțimea numerelor reale. Are însă soluții în mulțimea numerelor complexe.

Cum calculăm soluțiile ecuației de gradul al doilea

Cu ajutorul discriminantului putem calcula direct soluțiile ecuației de gradul al doilea. Formula pentru calculul soluțiilor este:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a},$

unde Δ este discriminantul. Întreaga formulă, cu discriminantul scris explicit, arată astfel:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Să încercăm să calculăm cu această formulă soluțiile ecuației de gradul al doilea x² + 7x + 12 = 0. Mai întâi calculăm discriminantul:

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Discriminantul a ieșit pozitiv, deci ecuația are două soluții reale distincte. Calculăm prima soluție. Prima dată adunăm radicalul din discriminant, la pasul al doilea îl vom scădea:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Prima soluție ne-a ieșit −3. A doua soluție o calculăm scăzând radicalul:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Acum avem ambele soluții ale ecuației, x₁ = −3 și x₂ = −4, deci S = {−4, −3}.

Pentru a stăpâni acest procedeu este absolut necesar să știi să determini corect valorile a, b și c. Cum se determină corect, a fost descris în primul articol despre ecuațiile de gradul al doilea.

Și ce înseamnă această soluție grafic, cum se vede în grafic? Dacă desenăm graficul funcției din membrul stâng al ecuației, vom vedea că graficul acestei funcții de gradul al doilea intersectează axa Ox în două puncte – în punctele x₁ = −3 și x₂ = −4.

Graficul funcției y=x^2+7x+12

Discriminantul nul

Dacă discriminantul iese zero, înseamnă că ecuația are soluții, dar doar una; sau, mai exact, două, dar egale. Exemplu: rezolvă ecuația x² − 10x + 25 = 0. Calculăm discriminantul:

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Soluția o calculăm la fel ca în capitolul precedent, cu formula. Dar, deoarece discriminantul este nul, din formulă dispare plus/minus radical din Δ, pentru că am aduna/scădea zero.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Am obținut o soluție dublă, x = 5. Ce înseamnă asta grafic? Că graficul funcției date atinge axa Ox într-un singur punct, în vârful său.

Graficul funcției y=x^2-10x+25

Discriminantul negativ

Dacă obținem un discriminant negativ, atunci ecuația de gradul al doilea nu are soluții în mulțimea numerelor reale. Ecuația o putem rezolva în mulțimea numerelor complexe, dar despre asta va fi vorba în articolul următor. Ca exemplu, încercăm să rezolvăm această ecuație de gradul al doilea: x² + x + 1 = 0. Discriminantul:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Ecuația de gradul al doilea nu are deci soluții în mulțimea numerelor reale. Poți încerca singur – polinomul x² + x + 1 este pozitiv pentru toate numerele reale. De exemplu, dacă înlocuiești x cu 1, obții: 1 + 1 + 1 = 3. Dacă x = −1, avem 1 − 1 + 1 = 1. Dacă x = 0, avem 0 + 0 + 1 = 1. Și la fel pentru alte numere. Poți privi și graficul funcției y = x² + x + 1, care nu intersectează niciodată axa Ox.

Graficul funcției y=x^2+x+1

Relațiile lui Viète

Știm deja cum se calculează soluțiile ecuației de gradul al doilea. Dar ce relație există între ele? Încercăm să adunăm cele două soluții x₁ și x₂:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{Δ} - b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Dacă adunăm soluțiile ecuației de gradul al doilea ax² + bx + c = 0, obținem câtul −b/a. Ce se întâmplă dacă înmulțim soluțiile?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{Δ} - b \cdot \sqrt{Δ} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Deci, dacă înmulțim soluțiile, obținem numărul c/a. Acestea sunt relațiile lui Viète. Încă o dată, la un loc:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Observă că la numitorul fracției se află întotdeauna expresia a. Un caz particular este ecuația de gradul al doilea pentru care a = 1. Atunci putem scrie relațiile lui Viète astfel:

$\begin{array}{rcl} dacă a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Putem folosi asta la găsirea soluțiilor ecuațiilor de gradul al doilea. În loc să calculăm complicat discriminantul, ne putem uita dacă suntem în stare să găsim numerele x₁ și x₂ astfel încât să fie valabile relațiile de mai sus. Exemplu: găsește soluțiile ecuației x² + 8x + 15 = 0. Avem a = 1, deci putem folosi relațiile lui Viète mai simple. Căutăm numerele x₁ și x₂ astfel încât să avem:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Dacă ne limităm doar la numere întregi, avem în total patru posibilități de a obține 15 ca produs:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Acum avem nevoie ca suma numerelor din membrul stâng să ne dea −8. Doar o singură pereche dă această sumă, și anume −3 și −5. Aceste numere sunt deci soluțiile ecuației de gradul al doilea. Putem face verificarea înlocuindu-le în ecuație, trebuie să ne iasă zero:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Verificare reușită. Dacă cunoști soluțiile, poți scrie ecuația și într-o formă mai ușor de citit. Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației ax² + bx + c = 0, atunci, pentru a = 1, poți rescrie ecuația sub forma

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Ecuația precedentă o putem deci rescrie sub forma:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Capitole: Ecuația de gradul al doilea, Discriminantul, Cu parametru, În mulțimea numerelor complexe

« Anterior: Ecuații de gradul al doilea

Următor: Cu parametru »