Funcții trigonometrice

În acest articol ne ocupăm de funcțiile trigonometrice. Cuvântul trigonometrie vine din greacă: trigonon înseamnă triunghi, iar metron înseamnă măsură. Cunoaștem patru funcții trigonometrice de bază — sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Noțiuni de bază despre triunghi

Funcțiile trigonometrice lucrează cu unghiurile din triunghi, așa că în această parte repetăm noțiunile legate de triunghi.

În figură se vede un triunghi format din vârfurile A, B și C; este deci triunghiul ABC. Găsim aici trei laturi: AB, BC, AC. Observă că aceste laturi mai sunt denumite și cu litere mici. Denumirea are o regulă — în fața vârfului A se află latura a. În fața vârfului B este latura b, iar în fața vârfului C este latura c. După fiecare vârf este deci denumită latura opusă; adică latura care nu conține acel vârf.

Fiecare triunghi are trei unghiuri interioare, pe care le notăm de obicei cu literele grecești alfa α, beta β și gama γ. Suma celor trei unghiuri interioare este întotdeauna de 180 de grade. La vârful A avem de obicei unghiul alfa, la B beta și la C gama.

Deși funcțiile trigonometrice se pot folosi într-un fel sau altul în orice triunghi, adesea lucrăm doar cu triunghiul dreptunghic. Triunghiul dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept, adică de 90 de grade. Arată de exemplu așa:

Triunghiul dreptunghic are laturi cu nume speciale. Cea mai lungă latură se află în fața unghiului drept și se numește ipotenuză (latura albastră din figură). Cele două laturi mai scurte se numesc catete (laturile roșii). Acest triunghi ne va interesa cel mai mult în acest articol.

Notarea catetelor în triunghi

Să trecem treptat la prima funcție trigonometrică, funcția sinus. Toate funcțiile trigonometrice arată legătura dintre un unghi al triunghiului și raportul lungimilor a două laturi. De obicei nu este vorba de unghiul drept, ci de celelalte două. Intrarea într-o funcție trigonometrică este deci măsura unui unghi, iar ieșirea este raportul a două laturi. Funcțiile diferă prin laturile cu care lucrează.

Funcția sinus lucrează cu cateta opusă și cu ipotenuza. Care este cateta alăturată și care cea opusă față de un unghi dat arată figura următoare.

În figură lucrăm cu unghiul beta, adică unghiul de la vârful B. Latura neagră este ipotenuza, la ea nu se schimbă nimic. Latura c, marcată cu roșu, este cateta alăturată, deoarece se învecinează cu unghiul beta. Latura b, marcată cu albastru, este cateta opusă, deoarece se află în fața unghiului beta. Important este că aceste noțiuni se raportează întotdeauna la un unghi. Dacă ne uităm la figură din punctul de vedere al unghiului gama, obținem acest rezultat:

Funcția sinus

Sinusul unghiului alfa este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei. Ce înseamnă asta? Dacă calculăm (de exemplu cu calculatorul) sinusul unghiului alfa, obținem valoarea câtului

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei opuse}}{\text{Lungimea ipotenuzei}}$$

Să încercăm pe acest triunghi și cu unghiul beta: Este un triunghi frumos, lungimile laturilor sunt: |a| = 5, |b| = 3 și |c| = 4. Cateta opusă unghiului beta este latura b, ipotenuza este latura a. Calculăm câtul b/a, adică 3/5, care este 0,6. Sinusul unghiului beta este deci egal cu 0,6. Unghiul beta măsoară 36° 52′; dacă introduci acest unghi în calculator și calculezi sinusul, obții exact 0,6 (după o mică rotunjire).

La ce ne folosește

Ne folosește atunci când cunoaștem un unghi și lungimea unei laturi și trebuie să calculăm laturile rămase.

Mai întâi scriem ce știm. Cunoaștem unghiul alfa. Știm că sinusul acestui unghi este egal cu raportul dintre cateta opusă (latura a) și ipotenuză (latura b). Scris matematic:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinusul unghiului îl cunoaștem, respectiv îl putem calcula, iar lungimea laturii a o cunoaștem. Singurul lucru pe care nu îl cunoaștem este lungimea laturii b. Vom încerca deci să izolăm această variabilă. Mai întâi înmulțim ecuația cu lungimea laturii b. Obținem

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

și acum împărțim ecuația la sin(α) și obținem forma dorită, cu lungimea laturii b în membrul stâng:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Lungimea laturii a o cunoaștem, este egală cu trei. Sinusul de treizeci de grade este egal cu o doime. Înlocuim:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Latura b are lungimea șase.

Funcția cosinus

Cosinusul este foarte asemănător cu funcția sinus. Terminologia legată de funcția cosinus este aceeași ca în partea precedentă, deci trecem direct la definiție:

Cosinusul unghiului alfa este egal cu raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei. Așadar, dacă calculăm cu calculatorul cosinusul unghiului alfa, obținem valoarea câtului

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea ipotenuzei}}.$$

Diferența dintre sinus și cosinus este arătată clar în figura următoare:

Ambele funcții lucrează cu ipotenuza triunghiului, care rămâne neagră. Sinusul lucrează cu cateta opusă, care este — față de unghiul alfa — latura roșie BC. Cosinusul lucrează cu cateta alăturată, care este latura albastră AB.

Să ne întoarcem la exemplul din capitolul precedent. Aveam de calculat lungimea ipotenuzei, cunoscând lungimea laturii a. Încercăm acum să calculăm lungimea laturii c, cunoscând unghiul alfa și lungimea ipotenuzei, pe care tocmai am calculat-o în exemplul precedent: b = 6.

Ce știm? Unghiul alfa măsoară 30 de grade, lungimea laturii b este egală cu șase, iar cosinusul ne dă raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Cateta alăturată este latura c, adică latura a cărei lungime vrem să o aflăm. Scriem:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Trebuie să izolăm |c| din ecuație. Facem asta înmulțind ecuația cu lungimea laturii b, astfel încât în membrul drept rămâne doar lungimea laturii c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Schimbăm doar membrii între ei:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

În membrul drept avem expresii pe care le cunoaștem sau le putem calcula. Cosinusul de treizeci de grade este aproximativ 0,866. Înlocuim în ecuație:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Aceasta este lungimea laturii c. După cum vom vedea mai departe, cosinusul de treizeci de grade este o valoare din tabel, egală cu

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(\approx \mathrm{0,866}025\dots ),$$

deci lungimea de mai sus se poate preciza astfel:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangenta și cotangenta

Mai există două funcții trigonometrice, tangenta și cotangenta. Diferența principală față de funcțiile precedente este că tangenta și cotangenta lucrează doar cu catetele, nu lucrează cu ipotenuza.

Tangenta unghiului alfa este egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate. Tangenta se notează tg.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei opuse}}{\text{Lungimea catetei alăturate}}$$

Cotangenta unghiului alfa este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse. Cotangenta se notează ctg.

$$\mathrm{ctg}(\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei alăturate}}{\text{Lungimea catetei opuse}}$$

Terminologia este din nou aceeași ca în părțile precedente, iar lucrul cu funcțiile se face tot la fel. Să ne întoarcem la exemplul precedent și să încercăm să calculăm lungimea laturii c doar din măsura unghiului alfa și din lungimea laturii a, care este a = 3.

Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, deci scris matematic arată astfel:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Trebuie să calculăm lungimea laturii c, deci din această ecuație trebuie să izolăm expresia |c|. Înmulțim cu |c| și împărțim la tg(α), ca în exemplele precedente.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \mathrm{tg}(\alpha )& =& |a|/:\mathrm{tg}(\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\mathrm{tg}(\alpha )}\end{array}$$

Înlocuim în membrul drept, unde tangenta de treizeci de grade este aproximativ 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}\approx \mathrm{5,196.}$$

Pentru tangenta de treizeci de grade există o valoare din tabel, și anume:

$$\mathrm{tg}({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

deci calculul precedent se poate face exact:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Valori din tabel

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta au pentru unele unghiuri „frumoase” valori frumoase. Iată o prezentare de bază:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{ctg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Trimiteri

Noțiuni înrudite de pe acest site:

• Unghiul orientat
• Radianul