Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este probabil cea mai celebră teoremă din matematică. Despre Pitagora din Samos poți citi mai multe în altă parte. Acum ne apucăm de triunghiuri.

Aria pătratului construit pe latura triunghiului

Teorema lui Pitagora ne spune o relație utilă între ariile pătratelor pe care le construim pe laturile unui triunghi dreptunghic. Să ne închipuim că avem acest triunghi dreptunghic:

Rețeaua de pătrățele din fundal ne dă dimensiunile triunghiului. Lungimea catetei AC este 4, iar lungimea catetei BC este 3. Dar care este lungimea laturii AB, adică a ipotenuzei triunghiului? La prima vedere nu putem afla lungimea. Putem însă încerca să o calculăm.

Mai întâi construim un pătrat pe cateta BC. Asta înseamnă că construim un pătrat ale cărui laturi au toate lungimea egală cu lungimea laturii BC, adică trei. În figură l-am desena așa:

A apărut pătratul BCDE, ale cărui laturi au toate lungimea 3. Care este aria unui astfel de pătrat? Aria pătratului o calculăm înmulțind lungimile a două laturi ale pătratului, deci aria pătratului BCDE este 3 · 3 = 9. Desenăm în figură pătratul construit pe cealaltă catetă, pe cateta AC. Un astfel de pătrat va avea laturile de lungime 4.

Acest pătrat va avea aria 4 · 4 = 16. Acum desenăm ultimul pătrat, pe ipotenuza AB:

Care va fi aria acestui nou pătrat nu știm încă, pentru că nu cunoaștem lungimea laturii AB. Acum putem însă folosi frumos teorema lui Pitagora. Ea spune că aria acestui ultim pătrat ABHI este egală cu suma ariilor celor două pătrate anterioare. Primele două pătrate au ariile 9 și 16, deci ultimul pătrat are – conform teoremei lui Pitagora – aria 9 + 16 = 25. Notăm în figură:

Și acum mai rămâne să răspundem la ultima întrebare – dacă pătratul ABHI are aria 25, care este lungimea laturilor acestui pătrat? Trebuie să fie radicalul din 25, deci lungimea laturii AB este $\sqrt{25}=5$. Dacă verificăm înapoi și calculăm aria unui pătrat cu laturile de lungime 5, obținem aria 5 · 5 = 25. Și acum ne putem apuca de numere și definiții.

Enunțul

Teorema lui Pitagora sună cam așa: „Aria pătratului construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele lui”. Matematic, această teoremă se scrie de obicei astfel:

$$c^2=a^2+b^2,$$

unde a și b sunt lungimile catetelor în triunghi, iar c este lungimea ipotenuzei.

Ce spune deci teorema lui Pitagora și cum se leagă această scriere de figura precedentă? Aria pătratului construit pe o latură a triunghiului înseamnă că luăm pătratul care are latura egală cu lungimea acelei laturi și îi calculăm aria. Aria pătratului o calculăm înmulțind o latură cu cealaltă latură, deci dacă latura are lungimea c, aria $\mathcal{A}$ va fi: $\mathcal{A}=c\cdot c$, ceea ce cu ajutorul puterilor putem scrie ca $\mathcal{A}=c^2$.

Deci scrierea c² = a² + b² o putem citi exact ca „aria pătratului cu latura c este egală cu suma ariilor pătratelor cu laturile a și b”.

Subliniez încă o dată că teorema este valabilă numai în triunghiul dreptunghic, nu în triunghiul oarecare. Teorema lui Pitagora se folosește de obicei când cunoști lungimile a două laturi și trebuie să calculezi lungimea laturii rămase. Dacă știm lungimile ambelor catete a și b și vrem să aflăm lungimea ipotenuzei c, calculăm ariile pătratelor construite pe catete, adică a² + b². Astfel obținem aria pătratului construit pe ipotenuza c, adică obținem c². Ca să obținem lungimea laturii c, extragem apoi radicalul din aria calculată. Obținem formula:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

unde c este lungimea ipotenuzei, iar a, b sunt lungimile catetelor. Dacă, dimpotrivă, am cunoaște lungimea ipotenuzei și a unei catete și am vrea să calculăm lungimea celeilalte catete, am calcula la fel, doar că mai întâi am scoate una dintre catete din ecuația dată. Deci dacă îi cunoaștem pe c și b și vrem să-l calculăm pe a, din ecuația

$$c^2=a^2+b^2,$$

îl scoatem pe a² scăzând b²:

$$c^2-b^2=a^2,$$

inversăm membrul stâng și membrul drept:

$$a^2=c^2-b^2$$

și în final extragem radicalul:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Primul exemplu

Fie triunghiul ABC, la care cunoaștem lungimile a două laturi: a = 3 și b = 4. Este același triunghi pe care l-am avut la început. Întrebarea este care este lungimea laturii rămase, a laturii c. Încercăm să o calculăm cu formula de mai sus. Triunghiul este reprezentat în figura următoare:

Vedem că cunoaștem lungimile celor două catete și ne lipsește lungimea ipotenuzei. De aceea folosim prima formulă, cea netransformată:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Înlocuim variabilele a și b cu lungimile laturilor:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

În formulă avem puterea a doua – ca să ne amintim, avem relația:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Deci, după calcularea puterilor a doua, obținem:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Rezultatul este că lungimea laturii c este egală cu cinci.

Al doilea exemplu

În acest exemplu încercăm să calculăm lungimea uneia dintre catete, dacă cunoaștem cealaltă catetă și lungimea ipotenuzei. Avem deci triunghiul ABC cu lungimile laturilor |AC| = 10 și |BC| = 6. Triunghiul este reprezentat în figura următoare:

Din figură vedem că ipotenuza, adică latura cea mai lungă, este latura |AC|. Trebuie să calculăm lungimea laturii |AB|. Înlocuim în a doua formulă, cea pentru calculul lungimii unei catete:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Ca să aplicăm corect teorema lui Pitagora, trebuie să ne dăm seama ce reprezintă fiecare variabilă. În această formulă, variabila a este lungimea laturii pe care vrem să o calculăm, în cazul nostru latura |AB|. Variabila c este lungimea ipotenuzei, a celei mai lungi laturi, în cazul nostru latura |AC|. Iar variabila b este lungimea catetei pe care o cunoaștem, în cazul nostru |BC|. De aceea înlocuim în formulă astfel:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Înlocuim lungimile concrete ale laturilor pe care le cunoaștem:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Calculăm puterile și scădem:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Și în final extragem radicalul:

$$|AB|=8$$

Lungimea laturii |AB| este egală cu opt.

Problemă cu text

Închipuie-ți că mergi la o prietenă pe un drum drept. Drumul are lungimea de 250 de metri. După acest sfert de kilometru o iei la stânga, mergi încă 100 de metri, și ai ajuns la buna ta prietenă. Întrebarea este cu cât va fi mai scurt drumul dacă o iei direct peste câmp.

Ca prim pas calculăm lungimea drumului dacă mergi pe șosea. Mergi mai întâi 250 de metri înainte și apoi 100 de metri la stânga. Asta înseamnă în total 250 + 100 = 350 de metri. Acum urmează calculul lungimii drumului peste câmp. Pentru asta ne trebuie o figură.

Un pătrățel din figură reprezintă 50 de metri. Cum ar arăta drumul direct peste câmp? Ar fi un segment din punctul A în punctul C. Îl desenăm în figură cu roșu.

Acum vedem că, pentru a calcula lungimea drumului peste câmp, este suficient să aplicăm corect teorema lui Pitagora. Căutăm lungimea ipotenuzei și cunoaștem lungimile ambelor catete, deci folosim prima formulă și o completăm astfel:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Înlocuim lungimile:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Ridicăm la putere:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Extragem radicalul și rotunjim:

$$|AC|=269$$

Lungimea drumului peste câmp este de 269 de metri. Exemplul nu s-a terminat încă, întrebarea era cu cât este mai scurt drumul peste câmp. Scădem deci lungimile una din alta, diferența o notăm cu r:

$$r=350-269=81$$

Răspunsul este că drumul este mai scurt cu aproximativ 81 de metri.

Lungimea laturii pătratului

Care este lungimea laturii unui pătrat a cărui diagonală are lungimea zece? Cum ne ajută teorema lui Pitagora? Trebuie să găsim în pătrat un triunghi dreptunghic pe care să-l folosim la calculul lungimii laturii pătratului. Ca să ne amintim: pătratul are patru laturi de aceeași lungime. Să desenăm situația de acum:

Vedem că în pătrat au apărut dintr-odată două triunghiuri care au un unghi drept și pe care le-am putea folosi pentru calculul lungimii laturii. Să luăm de exemplu triunghiul BCD. Latura DB este ipotenuza, celelalte două sunt catete. Lungimile catetelor nu le cunoaștem, dar cunoaștem lungimea ipotenuzei. Aceste catete au aceeași lungime, deci |BC| = |CD|. Folosim teorema lui Pitagora de bază:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Pentru că însă catetele sunt egale, este suficient să calculăm puterea a doua a unei catete și să o înmulțim cu doi – nu trebuie să calculăm puterea a doua a ambelor catete, pentru că sunt egale și ar ieși același rezultat. Putem scrie deci:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Cunoaștem lungimea laturii BD, aceasta este ipotenuza. Lungimea este egală cu zece. Înlocuim în ecuație:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Ridicăm 10 la puterea a doua:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Împărțim la doi:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Simplificăm fracția:

$$50=|BC{|}^2$$

Acum suntem aproape la țintă. Știm că puterea a doua a lungimii laturii pătratului este egală cu 50. Ca să aflăm lungimea laturii, mai trebuie să extragem radicalul din ecuație, ceea ce ne putem permite, pentru că lucrăm cu numere pozitive:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Radicalul din cincizeci îl lăsăm în această formă, dar în membrul drept al ecuației putem elimina radicalul și puterea, pentru că se anulează reciproc.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Dacă vrei, poți calcula și radicalul din cincizeci. Rotunjit, ar ieși șapte:

$$7\approx |BC|$$

Deci lungimea laturii pătratului este aproximativ șapte, iar exact radical din cincizeci.

Calculator

Ipotenuza o calculezi din ambele catete, iar o catetă din ipotenuză și din cealaltă catetă. Unitățile de măsură le poți schimba la fiecare câmp.