Basbytesmatris

Om vi har ett vektorrum V och två baser för det kan vi uttrycka en och samma vektor i rummet som en kombination av vektorerna i båda baserna. Basbytesmatrisen hjälper oss att omvandla det ena uttrycket till det andra.

Motivering

Låt V vara ett n-dimensionellt vektorrum med två olika baser E = {e₁, …, e_n} och F = {f₁, …, f_n}. Välj dessutom en vektor x i V. Eftersom x ligger i rummet V och både E och F är baser för rummet måste det finnas koefficienter a₁, …, a_n sådana att:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

och samtidigt måste det finnas koefficienter b₁, …, b_n sådana att:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

I det första fallet uttrycker vi vektorn x med hjälp av basen E, i det andra fallet med hjälp av basen F. Vi använder två olika baser för att uttrycka x och får därför två olika uppsättningar koefficienter, a_i och b_i. Då uppstår frågan: om vi känner koefficienterna b_i, finns det något sätt att få fram koefficienterna a_i ur dem, dvs. uttrycket med avseende på den första basen?

Ja, det är det som basbytesmatrisen används till.

Så får du fram basbytesmatrisen

Vi utgår återigen från rummet V och de två baserna E = {e₁, …, e_n} och F = {f₁, …, f_n}. Eftersom E är en bas för rummet V går även alla vektorerna f₁, …, f_n säkert att uttrycka som linjärkombinationer av vektorerna i basen E. Vektorerna f₁, …, f_n ingår visserligen i basen F, men de är samtidigt vanliga element i rummet V, så det måste gälla:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Vi skriver nu om de här ekvationerna som en matris så att den första kolumnen innehåller koefficienterna för vektorn $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, dvs. a_i1, den andra koefficienterna för vektorn $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, dvs. a_i2, osv. Vi får matrisen:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

En sådan matris kallas basbytesmatris från bas E till bas F. Om vi har en vektor x = (x₁,…, x_n) i V som har koefficienterna b₁, …, b_n med avseende på basen F får vi koefficienterna a₁, …, a_n med avseende på basen E genom

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Exempel

Vi arbetar i vektorrummet ℝ³. Vi väljer standardbasen som den ena basen, E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, och som den andra basen F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Basbytesmatrisen från bas E till bas F får formen

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Nu väljer vi en godtycklig vektor x ∈ ℝ³, till exempel x = (12, 41, 28). Den har koefficienterna b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7 med avseende på basen F. Vi utför alltså matrismultiplikationen:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Med avseende på basen E har vektorn x koefficienterna a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Alltså gäller:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$