Associativitet

Associativitet är en egenskap hos operationer som till exempel addition eller multiplikation. Titta på följande två uttryck för addition:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Uttrycken skiljer sig bara åt i var parentesen står. Skiljer sig resultaten åt? Båda uttrycken ger samma resultat, summan är alltid 6. Om parentesernas placering inte påverkar resultatet säger vi att operationen är associativ. Mer exakt kan vi skriva att operationen a ∘ b är associativ om

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

En annan associativ operation är multiplikation, eftersom

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operationer som inte är associativa

Subtraktion är inte associativ. Ta som exempel uttrycket (10 − 4) − 3. Först beräknar vi differensen inom parentesen och får 6 − 3, vilket är 3. Men om vi i stället beräknar 10 − (4 − 3) beräknar vi först innehållet i parentesen och får 10 − 1, vilket är 9. Subtraktion är alltså inte associativ.

På samma sätt är division inte associativ. Ta uttrycket (64 / 4) / 2. Först beräknar vi parentesen och får 16/2, vilket är 8. Men om vi placerar parentesen någon annanstans får vi 64 / (4 / 2), och när vi har beräknat parentesen har vi 64 / 2, vilket är 32. Division är alltså inte associativ.

En annan typisk operation som inte är associativ är potens:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Associativitet gäller en enda operation!

Se upp: associativitet gäller alltid en enda operation. Om vi har ett uttryck med tre tal men inte samma operation hela vägen kan vi inte använda den associativa lagen. Ett exempel:

$$(1+2)\cdot 3$$

Uttrycket innehåller två operationer – addition och multiplikation. Båda operationerna är i sig associativa, men ändå kan vi inte använda den associativa lagen här, vi kan inte skriva om uttrycket till

$$1+(2\cdot 3)$$

eftersom uttrycket innehåller två olika operationer. För att vi ska kunna använda den associativa lagen måste båda operationerna vara addition eller båda vara multiplikation.

Snitt och union

Snittet av mängder är associativt. Ett exempel:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

skulle vi först förenkla genom att beräkna snittet av mängderna i parentesen till

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Och snittet av de mängderna är {1}. Om vi flyttade parentesen skulle vi få

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

och efter att ha förenklat parentesen:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Och återigen skulle vi få {1}. Vi ser att parentesernas placering inte spelar någon roll, och därför är snittet av mängder associativt. På samma sätt är unionen av mängder associativ.

Sammanfogning av ord (konkatenering)

Tänk dig att vi hade en additionsoperation för delar av ord och att den helt enkelt betydde att orden sätts ihop. Då skulle ”da” + ”tor” vara lika med ordet ”dator”. En sådan operation skulle vara associativ. Om vi till exempel skrev (”glöd” + ”lam”) + ”pa” skulle vi först addera i parentesen och få ”glödlam” + ”pa”, vilket ger ordet ”glödlampa”. Om vi flyttade parentesen, ”glöd” + (”lam” + ”pa”), skulle vi efter additionen i parentesen få ”glöd” + ”lampa”, vilket också ger ordet ”glödlampa”.

Maximum och minimum är associativa

Tänk dig operationen a ∨ b, som ger det större av två tal. En sådan operation skulle vara associativ. Som exempel skulle vi förenkla (5 ∨ 10) ∨ 7 till 10 ∨ 7, och det är lika med 10. Tio är störst av de tre talen. Om vi flyttade parentesen skulle vi få 5 ∨ (10 ∨ 7), efter förenkling 5 ∨ 10, vilket återigen är 10.

Minimum skulle bete sig precis likadant.