Kommutativitet

Kommutativitet är en egenskap hos operationer som till exempel addition. Vi kan notera att ordningen inte spelar någon roll vid addition, så 3 + 5 är detsamma som 5 + 3. Vilka två reella tal vi än adderar, a + b, blir resultatet detsamma även om vi byter plats på termerna: b + a. Om en operation uppfyller det här villkoret säger vi att den är kommutativ.

Ett annat exempel på en kommutativ operation är multiplikation, eftersom 2 · 6 har samma resultat som 6 · 2, och detsamma gäller för alla tal a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Ett exempel på en operation som inte är kommutativ är subtraktion, eftersom 7 − 4 är något annat än 4 − 7. I det första fallet får vi resultatet 3, i det andra −3. Division är ett annat exempel, eftersom 2 / 5 är något annat än 5 / 2.

Se upp med andra egenskaper hos operationer, till exempel prioritet vid multiplikation. Om vi har uttrycket 1 + 2 · 3 kan vi inte säga att det är detsamma som 2 + 1 · 3. Multiplikation går nämligen före addition. Vi kan ta hjälp av parenteser: uttrycket 1 + 2 · 3 är detsamma som 1 + (2 · 3). Om vi vill använda den kommutativa lagen för addition kan vi göra det, men vi måste ta med hela parentesen: 1 + (2 · 3) är lika med (2 · 3) + 1, och det är lika med (3 · 2) + 1 om vi också använder att multiplikation är kommutativ.

Mängdoperationer och kommutativitet

Det är inte bara operationer med tal som kan vara kommutativa, utan till exempel också operationer med mängder. Snittet av mängderna A och B är till exempel en kommutativ operation. Snittet av två mängder består av ”de element som finns i båda mängderna”, alltså

$$A\cap B=B\cap A$$

Precis likadant fungerar det för unionen av mängderna A och B, vars resultat är ”de element som finns i minst en av mängderna”, och alltså:

$$A\cup B=B\cup A$$

Mängddifferensen är till exempel inte kommutativ.

Vektorer

En annan kommutativ operation hittar vi bland operationerna med vektorer, nämligen addition av vektorer – i allmänhet är addition för det mesta en kommutativ operation. Om vi har två vektorer $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ gäller att

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafiskt visas det i följande bild:

Summan $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ visas av den ”övre vägen”, där vi först följer den röda vektorn $\overrightarrow{u}$ och därefter den blå vektorn $\overrightarrow{v}$. Summan $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ visas av den ”nedre vägen”, där vi först följer den blå vektorn $\overrightarrow{v}$ och sedan den röda vektorn $\overrightarrow{u}$. Resultatet är ändå detsamma, vektorerna slutar i samma punkt.

Du kan tänka dig att du går från en plats femtio meter norrut och sedan tjugo meter västerut. Om du i stället först gick tjugo meter västerut och sedan femtio meter norrut skulle du hamna på samma ställe. Att gå på det sättet är alltså kommutativt.

Logik

Till de kommutativa operationerna hör också de logiska operatorerna ”och” (konjunktion) och ”eller” (disjunktion). Det betyder att påståendet ”talet 5 är udda och ett primtal” har samma sanningsvärde som påståendet ”talet 5 är ett primtal och udda”. På samma sätt för disjunktion: ”talet 6 är ett primtal eller jämnt” har samma sanningsvärde som påståendet ”talet 6 är jämnt eller ett primtal”.

Implikation är däremot inte kommutativ, så påståendet ”om jag vinner på lotto blir jag rik” är inte detsamma som ”om jag blir rik vinner jag på lotto”.