Varifrån kommer talet e

Eulers tal (talet e) är en av de mest kända matematiska konstanterna, tillsammans med till exempel talet pi — π. Vi ska se hur vi kom fram till det här talet och vad det betyder.

På 1600-talet intresserade sig den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli för ränta på ränta. Tänk dig att vi har en krona som vi sätter in på en bank som erbjuder 100 % ränta per år. Det är visserligen rena vansinnet från bankens sida, men vad gör man inte för matematikens skull. Hur mycket pengar har vi på kontot efter exakt ett år? Jo, vi har två kronor.

Hur skulle situationen ändras om banken i stället erbjöd 50 % ränta, som läggs till var sjätte månad? Skulle det vara bättre eller sämre för oss?

Efter första halvåret skulle vi ha hälften mer. ”Hälften mer” skriver vi i matematiken som $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. I stället för x skriver vi vår insättning, alltså en krona, och beräknar

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Efter ett halvår har vi 1,5 kr på kontot. Efter det andra halvåret skulle vi återigen ha hälften mer. Vi använder samma formel, men för x sätter vi in vårt nya saldo, dvs. 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Efter ett år har vi alltså 2,25 kr på kontot. Att få lägre ränta oftare lönar sig med andra ord för oss.

Ränta varje månad

Tänk om banken erbjöd förräntning varje månad, men räntan sjönk till en tolftedel av den ursprungliga räntan? Oj, nu blir det en del att räkna. Vilket saldo har vi efter första månaden? Vi har ”en tolftedel mer”, vilket vi skriver som $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Efter första månaden har vi alltså:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Efter andra månaden har vi

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Men lägg märke till att i stället för talet 1,0833333 kan vi använda uttrycket $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, eftersom vi vet att de här talen är lika:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Efter tredje månaden har vi på kontot:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Som du ser följer vår beräkning ett visst mönster. Parentesen upprepas lika många gånger som antalet månader vi räknar på. Det föregående uttrycket kan vi förenkla genom att i stället för tre likadana parenteser skriva en och upphöja den till tre:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Och multiplikationen med ett i början är också onödig, så vi tar bort den:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Om vi nu vill beräkna saldot efter tolv månader använder vi i stället för trean talet 12 i exponenten:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Efter tolv månader har vi ungefär 2,6130352 kr på kontot. Inte illa! Och det är mycket bättre än när vi hade 100 % ränta en gång per år.

Kontinuerlig ränta

Vi behöver inte stanna vid månader. Hur mycket skulle vi ha om vi lade till ränta varje vecka med en räntesats på $\frac{1}{52}$ av den ursprungliga räntan? Eftersom vi redan känner till formeln sätter vi bara in:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Ränta varje dag?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Ränta varje timme? (Ett år har 8760 timmar)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vi ser att varje gång vi tar en lägre ränta och lägger till den oftare har vi lite mer pengar i slutet. Men ökningarna blir inte lika stora. Så kunde vi hålla på i oändlighet. Det är faktiskt ingen dålig idé — vi skulle kunna lägga till ränta varje minut, varje sekund, varje millisekund, varje nanosekund… tills vi hamnar i ett läge där vi lägger till ränta hela tiden. Då skulle vi ha en kontinuerlig, minimal ränta som vi lägger på saldot varje ögonblick. Hur mycket pengar skulle vi ha på kontot efter ett år i så fall?

Tillbaka till Eulers tal

Det var den fråga som Jacob Bernoulli försökte räkna ut. Till hans olycka lyckades han inte, och det var först den berömde matematikern Leonhard Euler som klarade det, på 1700-talet. Han räknade ut att vi efter ett år skulle ha på kontot

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

kronor. Du ser att det inte är mycket mer än när vi lade till räntan varje timme. Och eftersom det visade sig att det här saldot, det här talet, är mycket viktigt inom olika delar av matematiken, kallas det än i dag Eulers tal och vi betecknar det med bokstaven e. Eulers tal är ett irrationellt tal, alltså ett tal som har en oändlig icke-periodisk decimalutveckling. Precis som till exempel talet π. Du kommer därför aldrig att få se det i sin helhet. Ändå kan vi definiera Eulers tal exakt med hjälp av ett gränsvärde:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Källor och länkar

• Ett utmärkt avsnitt av den engelskspråkiga kanalen Numberphile om talet e.
• Så räknar du ut räntan på ett bolån