Oändlighet

Oändlighet är ett abstrakt begrepp som man i princip inte ens kan föreställa sig. Oändligheten själv har inget slut, därav namnet, men den allmänna oändligheten har inte heller någon början (vi kan dock precisera den, till exempel är en stråle också oändlig, men har en början). Oändligheten skrivs vanligen med den så kallade ”liggande åttan” – ∞.

Vi räknar med oändligheter

Oändligheten liknar delvis noll, som också är speciell på många sätt och för vilken det gäller särskilda regler. Man kan till exempel inte dividera med noll, det vet nog varje litet barn (vet du förresten det här skämtet? Vad är den bästa ursäkten när man inte har gjort matteläxan? ”Jag råkade börja dividera med noll och då brann mitt räknehäfte upp…” ;o)).

Precis som vad som helst gånger noll är noll gäller också att vilket positivt tal som helst gånger oändligheten eller vad som helst plus oändligheten är oändligheten. Om du drar bort ett hur stort tal som helst från oändligheten får du alltid kvar oändligheten. Likadant om du försöker dividera oändligheten. Oändligheten är helt enkelt så stor att även om du drar bort miljoner varje sekund har du fortfarande alltid kvar oändligheten. Ibland är det lite svårt att ta till sig, till exempel med den här lilla ekvationen: ∞ + 1 = ∞. Stämmer den eller inte?

Logiken säger oss att vänsterledet är större, för om jag lägger till ett till oändligheten måste hela uttrycket vara större än bara oändligheten. Det behöver det inte :-). Som jag redan har sagt är oändligheten plus vad som helst oändligheten. Alltså är oändligheten plus ett oändligheten, och oändligheten är lika med oändligheten. Ekvationen stämmer.

Man kan också hitta en annan väg, via gränsvärden. Tänk dig nu bråket 1/x och beräkna högergränsvärdet då x→0⁺, och anta att räknehäftet inte har brunnit upp. Ett sådant gränsvärde skulle vara lika med oändligheten. Om du lägger till ett till det här uttrycket får du uttrycket (1+x)/x, och gränsvärdet då x→0⁺ skulle återigen vara oändligheten.

Det roliga börjar när vi kombinerar flera oändligheter. Vad är till exempel oändligheten minus oändligheten lika med? Logiken säger oss att vi subtraherar två lika stora tal från varandra, så resultatet blir noll. Jag sa också att om vi drar bort vilket tal som helst från oändligheten blir resultatet återigen oändligheten. Och om vi tvärtom drar bort oändligheten från vilket tal som helst får vi minus oändligheten. Hur kommer vi ur det här? Alla resultat är teoretiskt möjliga. Matematiken säger att uttrycket ∞ −∞ inte är lika med något bestämt, det är ett odefinierat/obestämt uttryck. Det är ett liknande fall som när du försöker dividera med noll, det saknar helt enkelt mening. Om du stöter på ett sådant obestämt uttryck måste du skriva om uttrycket på något sätt (för vissa slags obestämda uttryck kan man till exempel använda l’Hôpitals regel [läs ”lopitals regel”]).

Fler odefinierade/obestämda uttryck:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Förresten gäller förstås de grundläggande teckenreglerna, till exempel är −1 · ∞ lika med minus oändligheten.

Vill du bli galen?

Ta då en titt på mängdläran och räkna ut vilken mängd som är större. Är till exempel mängden av jämna tal större än mängden av udda tal? Jämna tal eller naturliga tal? Naturliga tal eller heltal? Jämna tal eller heltal? Naturliga tal eller rationella tal? Svaret är att alla är lika stora. Hur konstigt det än kan verka (det måste ju finnas fler heltal än udda tal) är de lika stora mängder. Däremot är mängden av de reella talen större än de nämnda mängderna. Det är inte lätt att reda ut ;-)