Intervall

Intervall används flitigt i matematiken och ingår i många definitioner. Ett intervall är en mängd av punkter som begränsas av två ändpunkter. Dessutom skiljer vi mellan öppna och slutna intervall.

Grundläggande beskrivning

Intervall använder vi också i vardagligt tal, till exempel ”för fel färg på ögonen kan du få böter av Europeiska unionen på mellan tio och tjugo tusen kronor”. I exemplet används ordet ”mellan”, men matematiskt sett är det ett intervall. Nu dyker det upp lömska frågor: kan du få exakt tio tusen kronor i böter, eller räknas ändpunkten i intervallet inte med? Hur fint kan böterna anges? Kan du få 18 541,97 kr i böter? Eller kan de bara anges i hundratal, alltså antingen 18 500 eller 18 600?

Allt det här löses av den matematiska notationen. Där måste vi ange två viktiga saker: i vilken mängd vi rör oss (i exemplet — hundratal? Tusental? Hela kronor?) och om ändpunkterna hör till intervallet (kan jag få exakt tio eller tjugo tusen i böter?).

Den goda nyheten är att vi i de allra flesta fall i matematiken vill att intervallet ska arbeta med mängden av de reella talen, så om du stöter på ett intervall utan angiven mängd handlar det säkert om reella tal.

Utgångsmängden har vi nu, men hur markerar vi om ändpunkterna ska räknas med? Intervall skrivs med hakparenteser. Om hakparentesen vid en ändpunkt vänder sig inåt, mot intervallet, hör ändpunkten till intervallet. Om den vänder sig utåt, alltså ] vid vänster ändpunkt eller [ vid höger ändpunkt, hör ändpunkten inte till intervallet. Det kallar vi att intervallet är slutet respektive öppet. Om ändpunkten hör till intervallet är intervallet slutet, om den inte gör det är intervallet öppet.

Exempel

Här följer exempel (alla i mängden av de reella talen, om inget annat sägs):

• [1, 2]   Slutet intervall från ett till två. Till intervallet hör alla reella tal mellan ett och två, inklusive ett och två.
• ]1, 2[   Öppet intervall från ett till två. Till intervallet hör alla reella tal mellan ett och två, men talen ett och två själva hör inte dit.
• [0, 1[   Intervallet är slutet till vänster och öppet till höger. Till intervallet hör alla tal mellan noll och ett, inklusive noll själv, men ett hör inte till intervallet.
• ]p, q]   Intervallet är öppet till vänster och slutet till höger. Till intervallet hör alla tal mellan p och q, inklusive talet q, men utom talet p.
• [0, +∞[   Slutet intervall till vänster och öppet till höger. Om du har oändligheten i ett intervall ska du använda ett öppet intervall på den sidan, eftersom oändligheten inte har någon ändlig ändpunkt och ett slutet intervall därför är meningslöst där.
• [1, 5] ⊂ ℤ⁺   Här sker en förändring: vi arbetar inte med mängden av de reella talen utan med mängden av de positiva heltalen. Vi har ett intervall som är slutet i båda ändarna, och i intervallet finns därför totalt fem tal: 1, 2, 3, 4 och 5.
• ]1, 5] ⊂ ℤ⁺   Samma fall som nyss, men intervallet är öppet till vänster, så ett hör inte till intervallet och alla dess element är: 2, 3, 4 och 5.

Intervall som mängd

Som du ser är ett intervall inget annat än en delmängd av den mängd som det är definierat över. Därför kan vi arbeta med intervall som med mängder och utföra mängdoperationer med dem. Till exempel kan unionen se ut så här:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Se upp med öppna intervall, där gäller inte likheten eftersom femman inte hör till det resulterande intervallet:

$$]0,5[\cup ]5,10[\ne ]0,10[$$

Rätt skulle det kunna se ut till exempel så här:

$$]0,5[\cup ]5,10[=]0,10[-\{5\}$$

När ska man använda ett öppet intervall

Skillnaden mellan ett öppet och ett slutet intervall är viktig att förstå. Ett vanligt fall där öppna intervall används är till exempel definitionsmängden för logaritmen. Logaritmen kan vi använda på vilket positivt reellt tal som helst, vilket betyder att vi inte kan sätta in ett negativt tal, och inte heller noll. Hur skriver vi det? Om vi betecknar definitionsmängden med D får vi:

$$D_{\ln }=]0,+\mathrm{\infty }[$$

Det här skrivsättet säger att vi kan sätta in ett hur litet positivt tal som helst i logaritmen, men inte noll. Så till exempel ligger talet 1 i intervallet, och likaså 0,001, och likaså 0,0000000001 eller 10⁻⁶⁶⁶. Men noll ligger inte i intervallet. På motsvarande sätt kan vi skriva definitionsmängden för en funktion med ett bråk, till exempel den enkla f(x) = 1/x.

$$D_f=]-\mathrm{\infty },0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$$

Det ger oss mängden av de reella talen utom noll. Noll är inte en sluten ändpunkt i något av intervallen, och därför ingår noll inte heller i den resulterande unionen. Däremot kan vi använda ett hur litet positivt tal som helst eller ett hur stort negativt tal som helst (för negativa tal gäller att -0,001 är större än -0,1, därför säger vi ”hur stort tal som helst” och inte ”hur litet tal som helst”).

Geometrisk tolkning

Intervall brukar vi rita på tallinjen som sträckor, och ändpunkterna väljer vi beroende på om intervallet är slutet eller öppet. Om intervallet är slutet är pricken som markerar punkten ifylld, om det är öppet är den inte ifylld, utan bara en kontur, bara en cirkel.

Följande bild visar tre intervall, alla från två till sex, men som skiljer sig åt i vilka sidor som är slutna. Bilden visar alltså i tur och ordning intervallen [2, 6], ]2, 6], ]2, 6[.