✖

Algebraiska tal

Ett tal som är nollställe till något polynom med heltalskoefficienter kallas ett algebraiskt tal. Vad betyder det i praktiken? Vi kan ta vilket tal som helst och leka en matematisk lek med det. Målet med leken är att ta något tal x och reducera det till noll, men vi får bara använda addition, subtraktion, multiplikation och potenser, och vi får bara använda heltal i omskrivningarna. Med exempel blir det tydligare.

Vi börjar med talet 42. Hur skulle vi skriva om det för att få noll? Vi kan subtrahera heltalet 42 och får noll (multiplikation med noll är inte tillåten):

42−42=0

Eftersom vi lyckades reducera talet 42 till noll är talet 42 algebraiskt. Det var ganska trivialt. Hur är det med ett bråk, till exempel 73? Eftersom vi bara får arbeta med heltal kan vi inte subtrahera 73 från bråket för att få noll. Vi måste klara oss på ett annat sätt. Först multiplicerar vi bråket med tre:

3⋅73=3⋅73=7

Vi fick ett heltal, och det vet vi redan hur man omvandlar till noll: vi subtraherar sju. Vi kan alltså skriva

3⋅73−7=0

och kan säga att bråket sju tredjedelar också är ett algebraiskt tal. Vi tar ett ännu krångligare tal, kvadratroten ur två: 2. Ingen multiplikation eller addition hjälper oss, vi måste först bli av med roten. Vi kvadrerar uttrycket:

(2)2=2

Vi fick ett heltal som vi kan omvandla till noll, vi subtraherar två:

(2)2−2=0

Även kvadratroten ur två, som är ett irrationellt tal, är ett algebraiskt tal. Hittills ser det ut som att varje tal vi provar är algebraiskt. Hur är det med till exempel talet e? Det är också irrationellt, så det har en oändlig decimalutveckling utan upprepning, ungefär som kvadratroten ur två. Dess närmevärde är 2,71. Till skillnad från kvadratroten ur två finns det dock inget sätt att reducera det till noll med de operationer som vi tillåtit. Vad vi än adderar till talet e, multiplicerar det med eller upphöjer det till får vi alltid ytterligare ett irrationellt tal. Talet e är därför inte algebraiskt, hurra!

På samma sätt är talet pi (3,14) inte algebraiskt.

Tal som inte är algebraiska kallar vi transcendenta.

Exaktare definition

För varje algebraiskt tal måste det alltså finnas ett polynom med heltalskoefficienter vars nollställe är just det här algebraiska talet. Ett nollställe till ett polynom är ett tal för vilket polynomet är lika med noll. Om vi går tillbaka till exemplen ovan får vi för talet 42 ekvationen

x−42=0

och eftersom nollstället till polynomet x − 42 är just x = 42 betyder det att 42 är ett algebraiskt tal. För det rationella talet 73 blir det ekvationen

3x−7=0

eftersom nollstället till polynomet 3x − 7 är just x=73. Och slutligen för kvadratroten ur två får vi

x2−2=0

eftersom nollstället till polynomet x2 − 2 är just kvadratroten ur två. För talet e eller för talet pi kan vi inte ställa upp någon sådan ekvation eller något sådant polynom, eftersom de är transcendenta tal och inte algebraiska tal.

Exempel på algebraiska tal

  • Varje heltal är också algebraiskt.
  • Varje rationellt tal (bråk) är algebraiskt.
  • Irrationella tal är krångligare. Som vi har sett är vissa irrationella tal algebraiska, till exempel kvadratroten ur två, men andra är det inte, som talet e.
  • Varje n:te rot ur ett heltal är algebraisk.
  • Gyllene snittet är ett algebraiskt tal.

Länkar och källor