Komplexa tal

Komplexa tal är en utvidgning av de reella talen. Bland de reella talen kan vi utföra de flesta vanliga räknesätt, som addition, subtraktion, multiplikation och division (utom division med noll). Vi kan också dra rötter ur reella tal, men bara ur icke-negativa tal. Det är en lucka, till exempel när vi löser en andragradsekvation och diskriminanten blir negativ. Den luckan fyller de komplexa talen igen.

Vad är ett komplext tal

Komplexa tal skiljer sig från vanliga tal framför allt genom att de har två delar, en realdel och en imaginärdel. Ett komplext tal är ett ordnat par av tal (x, y), där talet x är realdelen och talet y är imaginärdelen. Om realdelen är noll är det komplexa talet ett rent imaginärt tal. Talen x och y är själva reella.

Mängden av de komplexa talen betecknas med ett stort C: ℂ.

Likhet mellan komplexa tal: till skillnad från vanliga tal har komplexa tal två komponenter. För att två komplexa tal ska vara lika måste de därför vara lika i båda komponenterna. Dessa komplexa tal är alltså olika varandra: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). De komplexa talen z₁ = (1, 2) och z₂ = (1, 2) är lika: z₁ = z₂.

Rektangulär form och den imaginära enheten

Komplexa tal skrivs oftare på rektangulär form, som ser ut så här. Det komplexa talet (x, y) har den rektangulära formen x + yi, där i kallas den imaginära enheten. För kvadraten på den imaginära enheten gäller ett mycket viktigt samband:

$$i^2=-1$$

Den här ekvationen kommer vi att använda ofta, tillsammans med andra potenser av den imaginära enheten. Högre potenser kan nämligen beräknas på vanligt sätt. Om vi till exempel vill förenkla i³ kan vi enligt reglerna för räkning med potenser skriva om uttrycket som i² · i. Vi vet redan att i² är lika med minus ett. Det andra i:et går inte att bryta ned något mer, så vi får: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

På samma sätt för i⁴. Det kan vi skriva som i² · i², där i² = −1, så vi får: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Alltså är i⁴ = 1. Det kan vi utnyttja när vi beräknar ännu högre potenser av den imaginära enheten. När vi till exempel beräknar i⁷ kan vi skriva om det som i⁴ · i³. Vi vet att i⁴ = 1, så vi får: 1 · i³. Och vi vet att i³ = −i. Resultatet blir: 1 · (−i) = −i.

Addition och multiplikation

Komplexa tal kan vi addera och multiplicera. När vi adderar två komplexa tal z₁ och z₂ summerar vi bara realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Exempel: z₁ = 3 + 7i och z₂ = 5 + 8i. Summan blir: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Produkten av två komplexa tal är lite krångligare, men den går att skriva ut som vanlig multiplikation av parenteser. Grundformeln ser ut så här:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Och hur kom vi fram till den? Vi multiplicerar z₁ · z₂ på samma sätt som vi skulle multiplicera vanliga parenteser. Vi får:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Eftersom i² = −1 får vi efter förenkling av den sista termen:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Nu samlar vi bara termerna utan den imaginära enheten och termerna med den:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Exempel. Vi multiplicerar talen 5 + 6i och 4 + 7i. Vi får:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Motsatt tal, inverterat tal och komplext konjugat

• Det motsatta talet till det komplexa talet x + yi är −x − yi. Precis som för reella tal får vi det motsatta talet genom att multiplicera det komplexa talet med minus ett. Exempel: det motsatta talet till 2 + 7i är −2 − 7i. Det motsatta talet till −5 + 8i är 5 − 8i osv.

• Det inverterade talet till det komplexa talet x + yi är $\frac{1}{x+yi}$. Det inverterade talet till 4 − 2i är alltså $\frac{1}{4-2i}$.

• Det komplexa konjugatet till talet x + yi är x − yi. Det betecknas vanligen med ett streck över talet så här: $\bar{z}$, eller med en asterisk z^∗. Det är alltså det komplexa konjugatet till det komplexa talet z. Det komplexa konjugatet till 2 + 9i är talet 2 − 9i.

Subtraktion och division

När vi har definierat det motsatta och det inverterade talet kan vi också definiera subtraktion och division. Om vi vill subtrahera två komplexa tal, z₁ − z₂, adderar vi till z₁ det motsatta talet till z₂. I praktiken får vi en enkel formel:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

På samma sätt gör vi om division z₁ / z₂ till multiplikation genom att multiplicera z₁ · z₂′, där z₂′ är det inverterade talet till z₂.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett komplext tal z beräknar vi med formeln:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(I kvadratroten är det andra z det komplexa konjugatet till z.) Innebörden av formeln syns tydligt i den geometriska framställningen av komplexa tal.

Varje komplext tal vars absolutbelopp är lika med ett kallas en komplex enhet. Exempel på komplexa enheter: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Egenskaper hos absolutbeloppet:

• Absolutbeloppet av ett komplext tal är ett reellt tal.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z^∗|, där z^∗ är det komplexa konjugatet.