Heltal

Heltal är tal utan decimaldel. De innehåller de naturliga talen, deras motsatta (negativa) tal och noll.

Egenskaper

Heltalen bildar en mängd som innehåller talen …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Mängden betecknas vanligtvis med bokstaven Z med ett dubbelt tvärstreck: ℤ, från tyskans ”Zahlen” (tal). Heltalen bildar en oändlig och uppräknelig mängd.

Heltalen har till exempel följande egenskaper:

1. De är slutna under addition och multiplikation, precis som de naturliga talen. Det betyder att om vi adderar två heltal får vi återigen ett heltal.
2. Till skillnad från de naturliga talen är heltalen också slutna under subtraktion. De naturliga talen var det inte, eftersom differensen mellan två naturliga tal kunde bli ett negativt tal. Det spelar ingen roll för heltalen, eftersom de innehåller de negativa talen.
3. Precis som de naturliga talen är de inte slutna under division. Vi kan fortfarande få ett tal som inte är ett heltal när vi dividerar.
4. Till varje heltal c finns det motsatta talet −c. Om vi har talet 10 är det motsatta talet −10. För 55 är det −55. Och på samma sätt med negativa tal: för −13 är det motsatta talet 13. Om vi har ett heltal c och dess motsatta tal −c får vi noll när vi adderar dem: c + (−c) = 0. Därför är det motsatta talet till noll återigen noll.

Jämna och udda tal

Vi kan dela in heltalen i jämna och udda tal. Jämna tal är tal som är delbara med 2, alltså 2, −4, −8, 40, 124 osv. Udda tal har resten 1 vid division med 2, det vill säga talen −1, 1, 5, 19, −41 osv. Lägg märke till att vi verkligen skiljer på jämna och udda även för negativa tal (alltså är talet −5 udda) och att noll är ett jämnt tal.

Egenskaper för addition: om du adderar två jämna tal får du återigen ett jämnt tal. Fler egenskaper visas i följande tabell:

$$\begin{array}{rcl}\text{jämnt}+\text{jämnt}& =& \text{jämnt}\\ \text{jämnt}+\text{udda}& =& \text{udda}\\ \text{udda}+\text{udda}& =& \text{jämnt}\end{array}$$

En liknande tabell för multiplikation:

$$\begin{array}{rcl}\text{jämnt}\cdot \text{jämnt}& =& \text{jämnt}\\ \text{jämnt}\cdot \text{udda}& =& \text{jämnt}\\ \text{udda}\cdot \text{udda}& =& \text{udda}\end{array}$$

Division med rest

Även bland heltalen kan vi, på samma sätt som för de naturliga talen, definiera division med rest, men vi måste hantera de negativa talen. Grunddefinitionen ser därför ut så här:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}-\left\{0\right\},0\le r<|b|$$

I det här uttrycket dividerar vi a:b, talet q är resultatet (kvoten) och talet r är resten. Talet b måste vara skilt från noll, eftersom vi inte kan dividera med noll. Resten måste vara icke-negativ och mindre än absolutbeloppet av b, vilket garanterar att kvoten och resten blir entydiga.

Hur ser en sådan division ut? Vi försöker dividera −21:4. Talen ser då ut så här:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Kvoten är −6 och resten är 3. Det kan förvåna dig att kvoten blir en annan än när alla tal är positiva:

$$21=5\cdot 4+1$$

Här är kvoten 5 och resten 1. Skillnaden beror just på de negativa talen. För positiva tal söker vi i första steget det största heltal som inte är större än 21 och som är delbart med fyra utan rest. Det är talet 20. Därför dividerar vi 20:4 = 5 och får vår femma. Resten får vi sedan som differensen 21 − 20.

För negativa tal går vi tillväga på samma sätt. Vi söker det största tal som inte är större än −21 och som är delbart med 4 utan rest. Talet −20 är dock större än −21. Därför är det största tal som inte är större än −21 och som är delbart med 4 utan rest talet −24. Resten får vi återigen som differensen −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Relaterade artiklar

• Delbarhet med 2
• Delbarhet med 3
• Delbarhet med 4
• Delbarhet med 5
• Delbarhet med 6
• Delbarhet med 7
• Delbarhet med 8
• Delbarhet med 9
• Delbarhet med 10
• Delbarhet med 11

Länkar

• Wikipedia