✖

Kvadratkomplettering

Med kvadratkomplettering kan vi skriva en andragradsfunktion ax2 + bx + c på formen (x + m)2 + n.

Algoritmen för kvadratkomplettering

Algoritmen bygger på den välkända kvadreringsregeln:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Metoden är följande. Till att börja med antar vi att a = 1. Tänk dig att vi har andragradsfunktionen f(x) = x2 + 6x + 1 och vill skriva om den på formen (x + m)2 + n. Först bestämmer vi värdena i den första parentesen: (x + m)2. Vilket tal måste vi sätta in för m? Enligt regeln måste likheten (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 gälla. I funktionen f har vi x2, det stämmer. Men där den linjära termen ska vara har vi 6x. Vilket värde måste vi välja för m för att 6x = 2mx ska gälla? Uppenbarligen måste m = b/2 = 6/2 = 3 gälla. För m sätter vi alltså alltid in hälften av talet b i andragradsfunktionen.

Nu har vi formen (x + 3)2 + n. Det återstår att bestämma talet n. Vi vet redan att (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Delen x2 + 2mx är den vi vill ha, men uttrycket m2 är för mycket, det har ingen motsvarighet i funktionen f. Därför subtraherar vi m2 från det vi har hittills. Vi får formen (x + m)2 − m2, som efter utveckling av parentesen är lika med x2 + 2mx + m2 − m2. Efter subtraktionen återstår alltså bara x2 + 2mx.

I funktionen f har vi dock också konstanttermen c. Den lägger vi bara till. Vi får formen (x + m)2 − m2 + c, efter utveckling x2 + 2mx + m2 − m2 + c och efter förenkling x2 + 2mx + c. Eftersom m = b/2 är uttrycket lika med x2 + bx + c, alltså: när vi utvecklar uttrycket (x + m)2 − m2 + c får vi tillbaka den ursprungliga funktionen, så vi har räknat rätt. (Jag upprepar att a = 1, så det är inget som saknas där.)

För vår exempelfunktion f får vi alltså uttrycket på kvadratkompletterad form (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Vi kan prova att utveckla det tillbaka:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

Kvadratkomplettering används till exempel när du vill rita grafen till en andragradsfunktion.

När a ≠ 1

Om vi har en funktion där a = 1 inte gäller går vi tillväga så att vi bryter ut talet a ur hela funktionen och fortsätter sedan som vi redan kan. Exempel:

2x2+16x−12=0

Ur hela funktionen bryter vi ut tvåan:

2⋅(x2+8x−6)=0

Funktionen innanför parentesen kan vi redan kvadratkomplettera.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Det här resultatet sätter vi in i den föregående ekvationen och får:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44