Rationella tal
Rationella tal är alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal, alltså i form av ett bråk.
Definition
Rationella tal är alltså alla tal som kan skrivas på formen
Villkoret att båda talen är heltal har en självklar innebörd: om du skulle välja ett tal som inte är rationellt, till exempel π, och bilda ett bråk så här:
skulle du få tillbaka talet π, som inte är rationellt. Därför måste både nämnare och täljare vara heltal. Och eftersom vi inte får dividera med noll måste nämnaren vara skild från noll.
Vi kan också säga att rationella tal är tal med ändlig decimalutveckling och tal med oändlig decimalutveckling där någon del upprepas periodiskt. Här är några exempel på rationella tal, först på bråkform:
och sedan tal på decimalform: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=
Periodisk decimalskrivning
I det föregående exemplet hade vi talet 0,3333… Det är decimalformen av bråket 1/3 och ett tal med oändlig decimalutveckling. Ändå är det rationellt, eftersom utvecklingen är periodisk. Periodisk decimalutveckling betyder att samma sekvens av siffror från en viss plats upprepas hela tiden. I vårt fall upprepades treorna i det oändliga. Det kan lika gärna vara sekvensen 12345 som upprepas i det oändliga, det blir fortfarande ett tal med period, ett rationellt tal.
Alltså är varje tal med ändlig decimalutveckling ett rationellt tal. Varje tal med oändlig decimalutveckling där någon del upprepas periodiskt är också ett rationellt tal. Ett tal med oändlig decimalutveckling där ingen del upprepas periodiskt är ett irrationellt tal.
Perioden markeras antingen med tre punkter eller, oftare, med ett streck över de siffror som upprepas. Det kan vara en enda siffra som upprepas, men lika gärna flera siffror. Perioden kan börja direkt i början av decimaldelen eller längre fram. Alla de här talen är periodiska:
Beteckning och betydelse
Rationella tal betecknas med bokstaven Q med dubbla bågar: ℚ. Bokstaven kommer från engelskans ”quotient”, på svenska kvot, som betecknar resultatet av en division.
Rationella tal används för att ange en del av en helhet. Typiska exempel är ”hälften” eller ”en tiondel”. Det är beteckningar för en del av en helhet som kan uttryckas med rationella tal som kvoterna 1/2 och 1/10. Då anger nämnaren helheten och täljaren delen av helheten. Om täljaren är lika med nämnaren betyder det att vi har hela helheten. Sådana andelar omvandlas ofta till procent.
Egenskaper
- De rationella talen är en oändlig uppräknelig mängd.
- De rationella talen är slutna under addition, subtraktion, multiplikation och division. Det betyder att om vi dividerar två rationella tal får vi återigen ett rationellt tal. Det här skiljer sig från heltalen, som inte var slutna under division.
- De rationella talen innehåller alla heltal. Om alla rationella tal kan uttryckas som ett bråk a/b räcker det med att b = 1, och då får vi alltid tillbaka täljarens värde när vi dividerar a/1 = a.
- Om vi tar två rationella tal a och b för vilka a < b gäller, hittar vi alltid ytterligare ett rationellt tal q för vilket a < q < b. Med andra ord kan vi alltid hitta ännu ett rationellt tal mellan två godtyckliga rationella tal. Det gäller även en starkare version: mellan två godtyckliga rationella tal finns oändligt många andra rationella tal.
- En följd av den föregående satsen är att det inte finns något minsta positiva (eller största negativa) rationella tal. Vi kan använda ett motsägelsebevis. Låt m vara det minsta positiva rationella talet. Då kan vi inte hitta något mindre positivt rationellt tal. Men enligt den föregående satsen gäller 0 < m, och därför finns det ett rationellt tal s för vilket 0 < s < m. Vi har hittat ett tal s som är större än noll (är positivt) och mindre än talet m. Det är en motsägelse mot att m är det minsta positiva rationella talet.
Räkning med rationella tal
Alla vanliga och grundläggande räknesätt beskrivs i artikeln om bråk.
Omvandla ett periodiskt decimaltal till bråk
Eftersom ett periodiskt tal också är ett rationellt tal måste det gå att skriva som ett bråk. Vi visar hur man gör. Vi börjar med det periodiska talet a = 0,333… Vi skriver
Nu gör vi vanliga ekvivalenta omskrivningar av ekvationer och multiplicerar hela ekvationen med tio:
På högra sidan har en trea flyttats till entalen, efter decimalkommat finns fortfarande oändligt många treor. Nu subtraherar vi a från ekvationen, alltså 0,333…, och på så sätt blir vi av med den oändliga utvecklingen.
Det här steget var kanske lite krångligt, så jag skriver ut det. Vi utförde den här operationen:
Ekvationen 9a = 3 dividerar vi bara med nio och får resultatet:
Vi provar ett exempel till:
Tillvägagångssättet blir något annorlunda. I det förra exemplet hade vi en period med längden ett. Närmare bestämt kunde perioden vara hur lång som helst, eftersom samma siffror hela tiden upprepades, men det passade oss att ha den en siffra lång. Nu har vi en period med längden två. Vi skulle återigen kunna välja en period med längden sex, men det passar oss inte. För att subtrahera en hel period måste vi den här gången multiplicera med hundra:
Vi subtraherar ett a:
Och dividerar med 99:
Om du provar att dividera de här talen på miniräknaren får du precis 1,454545… De flesta miniräknare avrundar dock, så den kan visa ett något annorlunda resultat.
En kuriositet med 0,9999…
Som en kuriositet provar vi att omvandla det periodiska talet
till ett bråk. Vi multiplicerar med tio:
Vi subtraherar a:
Vi dividerar med nio:
Vi ser att vi fick ett, alltså gäller att talet 0,999… är lika med talet 1.
