Addition, subtraktion, multiplikation och division av bråk

Med ett bråk kan vi skriva vilket rationellt tal som helst. Ett bråk består av två delar. Den övre delen kallas täljare och den undre nämnare. Det finns också sammansatta bråk, som helt enkelt är bråk med ett till bråk i täljaren eller nämnaren. Och förresten skrivs alla tecken mellan bråk (plus, minus, likhetstecken osv.) alltid på höjd med bråkstrecket, aldrig på höjd med täljaren eller nämnaren. Och visste du att fem av fyra personer har problem med bråk?

Grundläggande information

Ett bråk har följande form:

$$\frac{\text{täljare}}{\text{nämnare}}$$

Ett exempel på ett bråk är

$$\frac{2}{5},$$

alltså två femtedelar. Nämnaren heter så eftersom den nämner, alltså namnger, bråket. Femtedel, tredjedel, sjättedel … det är bråkets huvudnamn, och det kommer från talet under bråkstrecket. Täljaren däremot talar om antalet, i exemplet ovan var det två femtedelar. Så mycket om namnen.

I både täljaren och nämnaren kan det i princip stå vilket tal som helst, eller återigen ett bråk, men oftast möter vi bråk där både täljaren och nämnaren är positiva heltal.

Ett bråk är bara ett annat sätt att skriva division. Värdet av ett bråk räknar vi ut genom att dividera täljaren med nämnaren. Om vi har ett bråk $\frac{a}{b}$ är alltså bråkets värde talet a/b. Det förra bråket (två femtedelar) har då värdet 2/5, vilket är 0,4.

Förenkla till enklaste form

Vi kan arbeta med bråk på olika sätt och ändra deras form — förlänga och förkorta dem — utan att bråkets värde ändras. Det är lätt att föreställa sig med ord: en halv har samma värde som två fjärdedelar eller fyra åttondelar. Det beror på att ett bråk bara är en förklädd division. Och till talet en halv kan vi komma genom att dividera flera olika tal. Fyra delat med åtta är en halv. Tio delat med tjugo är också en halv. Därför har bråken

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

samma värde.

Som du ser kom vi fram till de andra bråken med samma värde genom att multiplicera både täljaren och nämnaren i det ursprungliga bråket 1/2 med två. Efter multiplikationen fick vi bråket 2/4, två fjärdedelar. Om vi också multiplicerar täljaren och nämnaren i det bråket med två får vi bråket 4/8, fyra åttondelar. Då har vi förlängt bråket.

Motsatsen till att förlänga är att förkorta bråk, där vi dividerar både täljaren och nämnaren med samma tal. När vi vill förkorta ett bråk måste vi hitta ett tal som både täljaren och nämnaren är delbara med utan rest. Att förkorta bråk används mycket ofta i praktiken, eftersom bråket blir betydligt enklare och lättare att arbeta med. Om vi har bråket 12/18 ser vi med en snabb blick att båda talen är jämna och därmed delbara med två. Vi kunde förstås förkorta bråket med två, men vid en andra blick ser vi att både täljaren och nämnaren också är delbara med sex. Om vi förkortar bråket med sex får vi ett enklare bråk än om vi bara förkortade med två. Därför förkortar vi bråket med sex. Vi får bråket 2/3.

Det här bråket går inte att förkorta mer, det finns inget tal (större än ett) som både täljaren och nämnaren är delbara med utan rest. Ett bråk som inte går att förkorta mer säger vi är skrivet i enklaste form. Försök alltid arbeta med bråk i enklaste form, och om du ska arbeta med bråk, titta först om något av dem går att förkorta. Du sparar tid. Ännu ett exempel:

$$\frac{24}{42}$$

Vilket tal är både 24 och 42 delbara med? Båda är jämna tal, så de är säkert delbara med två. Vi dividerar både täljaren och nämnaren med två:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Finns det något tal som delar båda talen? Ja, den här gången tre.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Finns det fortfarande något tal som delar både täljaren och nämnaren? Nej, bråket är i enklaste form.

Multiplikation av bråk

Du kanske blir förvånad, men multiplikation och division är enklare med bråk än addition och subtraktion. Om du ska multiplicera två bråk multiplicerar du helt enkelt täljaren i det första bråket med täljaren i det andra och nämnaren med nämnaren. Det är allt. Ett exempel på multiplikation av bråk:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Vid multiplikation av bråk finns dessutom ett annat sätt att förkorta. Du behöver inte förkorta bara inom ett bråk, utan kan förkorta i kors. Om täljaren i det första bråket och nämnaren i det andra går att förkorta, kan du göra det och göra multiplikationen enklare. Exempel (de tal som förkortas är markerade):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Vad gjorde vi? Vi dividerade både fyran och åttan med fyra. Produktens värde förblev oförändrat. Om vi inte hade förkortat nu, hade vi kunnat förkorta efter multiplikationen.

Multiplikation av ett bråk med ett heltal gör du enkelt om till multiplikation av två bråk genom att skriva heltalet c som c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Som du ser räcker det, när du multiplicerar ett bråk med ett heltal, att multiplicera bråkets täljare med det talet.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Division av bråk

Division av bråk är nästan samma sak som multiplikation. Om du vill dividera ett bråk med ett annat vänder du på det andra bråket (divisorn) och multiplicerar sedan bråken som vanligt. Ett enkelt exempel på division av bråk (lägg märke till att vi efter att ha vänt på bråket kan förkorta 12 och 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Vi gjorde om divisionen till en multiplikation genom att vända bråket $\frac{6}{11}$ till bråket $\frac{11}{6}$ och multiplicera det med det andra, oförändrade bråket. Varför fungerar det så? Det räcker att tänka på ett enklare exempel, till exempel division med en halv. När vi dividerar

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

vad gör vi egentligen? Vi tar reda på hur många gånger en halv ryms i tio. I varje enhet ryms en halv exakt två gånger (två gånger en halv är ett), så i tio ryms den tjugo gånger. Vi kommer till samma resultat om vi multiplicerar två gånger tio — också tjugo. Och vilket värde får vi om vi vänder på en halv? Två hela, alltså två.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Resultatet blir alltså:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Addition av bråk

Addition av bråk är redan lite krångligare. Bråk kan vi nämligen bara addera om de har samma nämnare. Om bråken inte har samma nämnare måste vi först skriva om dem så att de får en gemensam nämnare. Sedan går vi tillväga lika enkelt som vid multiplikation: vi adderar helt enkelt täljaren i det första bråket med täljaren i det andra. Till skillnad från vid multiplikation behåller vi däremot nämnaren. Först ett exempel på addition av bråk med samma nämnare:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Är det vettigt? En halv plus fem halvor är lika med sex halvor — det låter ganska rimligt.

Om bråken inte har samma nämnare, vilket är det vanligare fallet, måste vi skriva om dem med gemensam nämnare, vilket innebär att vi förlänger det ena bråket eller båda så att vi får samma nämnare. Låt oss addera de här två bråken:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Det första bråket har en trea i nämnaren och det andra en tvåa. Som de står nu är de svåra att addera, men om vi förlänger det första bråket med två får det en sexa i nämnaren, och om vi förlänger det andra bråket med tre får det också en sexa i nämnaren. Nu har båda bråken samma nämnare och vi kan enkelt addera dem. I det första steget förlänger vi alltså bråken så att de får samma nämnare:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Och nu adderar vi bara täljarna och behåller nämnaren:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Observera att vi vid addition inte kan förkorta mellan bråken som vid multiplikation. Efter omskrivningen hade vi till exempel en sexa i nämnaren i det första bråket och talet 15 i täljaren i det andra. Ändå kan vi inte förkorta med tre:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Den här förkortningen kunde vi bara tillåta oss om vi multiplicerade bråken:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Hur skriver man i allmänhet om två bråk så att de får en gemensam nämnare? Vi förlänger det första bråket med det andra bråkets nämnare och det andra bråket med det förstas nämnare. I allmänhet kan vi skriva det så här:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Vi förlängde det första bråket med uttrycket d, som är det andra bråkets nämnare. Det andra bråket förlängde vi med uttrycket b, som är det första bråkets nämnare. Ett konkret exempel:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Vi förlängde det första bråket med åtta och det andra med fyra. Efter det kan vi addera bråken.

Den allmänna formeln för addition av bråk ser då ut så här:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Subtraktion av bråk

Subtraktion av bråk går till precis som addition av bråk, bara att vi inte adderar de nya täljarna utan subtraherar dem. Den förra allmänna formeln för addition ändrar vi alltså så här:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Ett konkret exempel; först skriver vi om bråken med gemensam nämnare:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Och nu subtraherar vi bara täljarna och behåller nämnaren:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Korsmultiplikation

När vi har ekvationer kan vi använda korsmultiplikation, som förenklar likheten mellan två bråk. I praktiken är det inget annat än två ekvivalenta omskrivningar av ekvationen. Vi har alltså en ekvation med två bråk

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Den här ekvationen kan vi skriva om genom att multiplicera den med det första och sedan det andra bråkets nämnare. Först multiplicerar vi ekvationen med det första bråkets nämnare, alltså uttrycket b. Vi får

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Sedan multiplicerar vi ekvationen med uttrycket d och får

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

I det första bråket förkortar vi b och i det andra d. Resultatet är ekvationen

$$ad=bc.$$

Det här kan vi alltså se som en formel: har vi en ekvation i form av två bråk kan vi skriva om den så här:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Nu följer ett exempel. I det första steget skriver vi om bråken enligt den förra formeln, och i det andra steget förenklar vi bara uttrycken på båda sidor lite.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Sedan skulle ekvationen lösas som en vanlig andragradsekvation, men det ligger utanför den här artikelns ämne.

Relaterade ämnen

Bråk är ofta en del av uppgifter om att förenkla uttryck, vilket artikeln om rationella uttryck handlar om. Dessutom finns en algoritm för division av polynom med polynom.