Proportionalitet

Här löser vi enkla uppgifter med direkt och omvänd proportionalitet. Oftast känner vi till tre värden som hänger ihop och ska beräkna ett fjärde. Vi måste noga skilja mellan direkt och omvänd proportionalitet, eftersom de räknas på olika sätt.

Motivation

Du går till affären för att köpa läsk. För 100 kr köpte du 5 flaskor läsk. Hur många flaskor skulle du köpa om du hade 200 kr? Det är ett typiskt exempel som kan lösas med proportionalitet.

Här kan vi resonera enkelt: i det första fallet hade vi 100 kr, i det andra 200 kr. Vi kan förvänta oss att om vi har dubbelt så många kronor, så kan vi köpa dubbelt så många flaskor. För 200 kr skulle vi alltså köpa 2 · 5 = 10 flaskor läsk.

Resonemanget ”ju fler … desto fler” är inte helt självklart, eftersom vi kan ha följande exempel: 10 byggarbetare bygger ett hus på fyra månader. Hur lång tid tar det för 20 byggarbetare att bygga huset? Om vi använder samma resonemang – det är dubbelt så många byggarbetare, så det blir dubbelt så många månader – får vi att 20 byggarbetare skulle bygga huset på 2 · 4 = 8 månader.

Det resonemanget stämmer förstås inte, eftersom ju fler byggarbetare, desto färre månader tar det att bygga huset. Vi måste resonera tvärtom: dubbelt så många byggarbetare bygger huset på hälften så många månader. Då får vi rätt svar: 20 byggarbetare bygger huset på 4/2 = 2 månader.

De två olika sätten har också namn: direkt och omvänd proportionalitet.

Direkt proportionalitet

Om det gäller att ”ju fler … desto fler” är det direkt proportionalitet. Exempel:

• Ju mer pengar vi har, desto fler läskflaskor, gurkor eller sparkcyklar kan vi köpa.
• Ju fler artiklar en journalist skriver, desto mer pengar tjänar hen.
• Ju fler som gräver, desto mer grävs det upp.
• Ju längre vi låter pumpen pumpa, desto mer vatten pumpar vi ut.

Exempel: En bil förbrukar 6 liter bensin på 10 mil. Hur många liter bensin förbrukar den efter 25 mil? Det här är ett exempel på direkt proportionalitet, eftersom ju längre bilen kör, desto mer bensin förbrukar den.

Tillvägagångssätt: Först skriver vi upp vad vi vet. Vi använder följande tabell, som ger oss en överblick över vad vi känner till och vad vi vill beräkna:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ mil}& \dots & 6\text{ liter}\\ 25\text{ mil}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

På första raden har vi värden som vi känner till helt. På andra raden har vi till höger ett värde som vi inte känner till och till vänster det värde som vi vill beräkna det okända för. I kolumnerna måste det alltid stå samma slags värden, i det här fallet måste det i en kolumn antingen alltid stå mil eller alltid liter.

Det finns ett knep som gör det lättare att lösa uppgiften. Rita först en pil till höger, nerifrån och upp, så här:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ mil}& \dots & 6\text{ liter}\\ 25\text{ mil}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Om det är direkt proportionalitet ritar vi samma pil till vänster, nerifrån och upp:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ mil}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 25\text{ mil}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

I nästa steg ställer vi upp bråk av kolumnerna i pilarnas riktning. Täljaren är då talet där pilen börjar och nämnaren talet där pilen slutar. Vi sätter bråken lika med varandra. Från den första kolumnen (mil) får vi bråket $\frac{25}{10}$ och från den andra (liter) bråket $\frac{x}{6}$. Som ekvation:

$$\frac{25}{10}=\frac{x}{6}$$

Det här är en vanlig linjär ekvation som vi kan lösa med ekvivalenta omformningar. Vi multiplicerar hela ekvationen med sex, och då blir vi av med bråket i högerledet:

$$6\cdot \frac{25}{10}=x$$

Nu beräknar vi bara x:

$$x=6\cdot \frac{25}{10}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Resultatet är att bilen förbrukar 15 liter bensin efter 25 mil.

Omvänd proportionalitet

Om det gäller att ”ju fler … desto färre” är det omvänd proportionalitet. Exempel:

• Ju fler personer som delar på en pizza, desto mindre bit får var och en.
• Ju snabbare internet vi har, desto förr laddar vi ner en film.
• Ju snabbare vi kör, desto förr kommer vi fram.
• Ju fler arbetare som arbetar på huset, desto förr blir huset färdigt.

Exempel: På din dator har du en internetuppkoppling med hastigheten 2 MB per sekund, och du laddade ner en film på 450 sekunder. Hur lång tid skulle det ta att ladda ner samma film om du hade en uppkoppling på 6 MB per sekund?

Tillvägagångssättet är detsamma som vid direkt proportionalitet – vi skriver upp värdena i en tydlig tabell:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\end{array}$$

Nu pilarna. Den högra pilen går återigen nerifrån och upp, där ändras ingenting. Men eftersom det är omvänd proportionalitet går den vänstra pilen åt motsatt håll, uppifrån och ner.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\uparrow \end{array}$$

Fortsättningen är densamma – vi bildar bråk av tabellen, återigen i pilarnas riktning. Vi får bråken $\frac{2}{6}$ och $\frac{x}{450}$, som vi sätter lika med varandra:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Vi multiplicerar ekvationen med 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Och beräknar x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Med den snabbare uppkopplingen laddar vi ner filmen på 150 sekunder.

Lägg märke till att tillvägagångssättet stämmer med intuitionen. I sista steget dividerar vi 450 med tre, vilket är väntat. Hastigheten ökar från 2 MB/s till 6 MB/s, alltså tre gånger så mycket. Därför väntar vi oss att tiden det tar att ladda ner filmen blir tre gånger kortare → och precis det uttrycker bråket $\frac{450}{3}$.

Exempel

Första exemplet: Ett rum på ett lyxhotell kostar 8400 kr för sju nätter. Hur mycket skulle samma rum kosta om vi ville bo där i tolv nätter?

Först skriver vi upp värdena i en tabell:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ nätter}& \dots & 8400\text{ kronor}\\ 12\text{ nätter}& \dots & x\text{ kronor}\end{array}$$

Nu måste vi avgöra om det är direkt eller omvänd proportionalitet. Gäller det att ju längre vi bor där, desto mindre betalar vi? Nej, det är tvärtom – ju längre vi bor där, desto mer betalar vi. Det är alltså direkt proportionalitet. Vi lägger till pilarna:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ nätter}& \dots & 8400\text{ kronor}\\ \uparrow 12\text{ nätter}& \dots & x\text{ kronor}\uparrow \end{array}$$

Med hjälp av pilarna ställer vi upp bråken:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{8400}$$

Vi löser ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{8400}\\ 8400\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 8400\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{8400\cdot 12}{7}\\ x& =& 14400\end{array}$$

Rummet skulle kosta oss 14 400 kronor för 12 nätter.

Andra exemplet: 10 personer plockar tillsammans 50 kilo jordgubbar på en dag. Hur många kilogram jordgubbar plockar 7 personer på en dag?

Vi skriver upp värdena i en tabell:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ pers.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ pers.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Är det direkt eller omvänd proportionalitet? I det här exemplet finns en liten fälla, eftersom vi, till skillnad från de tidigare exemplen, på raden med det okända har färre personer än på första raden. Låt dig inte förvirras, det är fortfarande direkt proportionalitet, eftersom ju fler personer, desto fler plockade jordgubbar. Eller tvärtom – ju färre personer, desto färre jordgubbar. Det är också direkt proportionalitet. Båda pilarna går alltså nerifrån och upp.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ pers.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ pers.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Vi bildar bråken:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

och beräknar x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Sju personer plockar 35 kilo jordgubbar på en dag.

Tredje exemplet: Oscars genomsnittliga steglängd är 80 cm. På vägen hem från skolan räknade han till att han tog 1300 steg. Hur många steg skulle han ta om ett steg var exakt en meter?

Först tabellen. Observera att vi i uppgiften har 80 cm och en meter. I tabellen behöver vi värden i samma enhet, så i stället för en meter använder vi 100 cm – vi kunde också välja det omvända och skriva 1 meter och 0,8 meter.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ steg}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ steg}\end{array}$$

Och vilken sorts proportionalitet är det? Ju längre steg vi tar, desto färre steg behöver vi för att ta oss en viss sträcka, så det är omvänd proportionalitet. Den vänstra pilen går uppifrån och ner, den högra nerifrån och upp.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ steg}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ steg}\uparrow \end{array}$$

Bråken ser ut så här:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Vi löser ut och beräknar x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Oscar skulle behöva bara 1040 steg för samma sträcka.

Formler

Som man ser av de tidigare beräkningarna är tillvägagångssätten alltid desamma och leder till enkla formler. Först skriver vi upp tabellen symboliskt:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Då gäller följande formler. För direkt proportionalitet:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Och för omvänd proportionalitet:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$