Alt Alta Çarpma

İki sayıyı yalnızca kalem ve kâğıt kullanarak çarpmanın yolu.

Alt Alta Çarpma Yöntemi

Kolay bir örnekle başlıyoruz; daha karmaşık bir örnek makalenin sonunda yer alıyor. Başlangıçta çarpmak istediğimiz iki sayımız olduğunu varsayıyoruz. Şimdilik yalnızca doğal sayılarla çalışacağız. Diyelim ki 13 · 72 çarpımını bulmak istiyoruz. Bu sayıları alt alta yazar ve altlarına bir çizgi çekeriz:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Alttaki sayının son rakamını (birler basamağındaki rakamı) üstteki sayının tüm rakamlarıyla çarpmaya başlarız. Yine sağdan başlıyoruz, yani önce 2 · 3 = 6 işlemini yaparız. Sonucu doğrudan 2 rakamının altına yazarız. Sonra 2 rakamını sağdan ikinci rakamla çarparız, yani 2 · 1 = 2 işlemini yaparız. Bu sonucu doğrudan 7’nin altına yazarız:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Alttaki sayıda bir rakam sola geçeriz, 7 rakamına geliriz ve aynı işlemi yaparız. Ama bir basamak kaydığımız için (7 onlar basamağını, 2 ise birler basamağını gösterir), çizginin altında da bir basamak kaymamız gerekir. Sağ aşağıya, 6’nın altına, 0 yazarız. Sonra aynı şekilde devam ederiz.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Şimdi 7 · 3 = 21 işlemini yaparız. Ama burada işler karışıyor — yalnızca tek rakam yazabiliriz, 21 yazamayız — çünkü bu iki rakam. Bunu şöyle çözeriz: sayıyı iki rakama ayırırız; sağdaki rakamı, yani 1’i kâğıda yazarız, soldaki rakamı, yani 2’yi ise bir sonraki tur için aklımızda tutarız. Yani: 1’i yazarız, 2 elde kalır. 1’i hemen 0’ın yanına yazarız.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Sonra 7 rakamını üstteki sayıdaki 1 rakamıyla çarparız: 7 · 1 = 7. Şimdi aklımızda tuttuğumuz 2 rakamının sırası geldi: onu bu sonuca ekleriz: 7 + 2 = 9. Bu sayıyı en alt satırda 1 rakamının soluna yazarız:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Son adım kaldı: çizginin altındaki sayıları toplamak.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Sonuç 936 çıkıyor; bu da tam olarak 13 · 72 çarpımıdır.

Bu Yöntem Neden İşe Yarar

Çarpmayı daha basit çarpımlara ve toplamlara ayırabiliriz: 13 · 72, 13 · 2 + 13 · 70 ile aynıdır diyebiliriz. Burada ortak çarpan parantezine almayı görebilirsin, ama sağduyu da yeter: on üçü yetmiş iki kez toplamak, on üçü yetmiş kez toplayıp sonra iki tane on üç daha eklemekle aynıdır.

Anlattığımız yöntem, bu ara çarpımlardan başka bir şey üretmez. Dikkat edersen çizginin altında 26 ve 910 sayılarını elde ettik. Gerçekten de 26 = 2 · 13 ve 910 = 70 · 13’tür.

Gerçekten doğru çıksın diye ikinci satıra 0 yazmamız gerekti — çünkü aslında 7 · 13 çarpımını hesapladık. Bundan 70 · 13 çarpımını elde etmek için sonuca bir 0 daha eklemek gerekir.

Daha Karmaşık Bir Örnek

Hesapla: 28 · 617. Önce sayıları alt alta yazarız:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

İlk adım: 7 · 8 = 56. 6 yazarız, 5 elde kalır.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Sonra: 7 · 2 = 14, önceki adımdan gelen 5’i ekleriz: 14 + 5 = 19. 9 yazarız, 1 elde kalır.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Çarpacak başka rakam kalmadığı için 1’i de yazarız:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

İkinci satıra geçiyoruz. Önce 0 yazarız ve çarparız: 1 · 8 = 8, 8 yazarız:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Sonra: 1 · 2 = 2, 2 yazarız:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Ve üçüncü satıra geçiyoruz. Bir basamak daha kaydığımız için öncekinden bir 0 fazla yazarız:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Ve çarparız: 6 · 8 = 48, 8’i yazarız, 4 elde kalır.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Sonra: 6 · 2 = 12, 4’ü ekleriz, yani 12 + 4 = 16 buluruz. 6’yı yazarız, 1 elde kalır.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Çarpacak başka rakam kalmadığı için 1’i de yazarız:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Şimdi çizginin altındaki üç sayıyı da toplarız:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$