Kirjallinen kertolasku

Miten kaksi lukua kerrotaan pelkällä kynällä ja paperilla.

Kirjallisen kertolaskun vaiheet

Aloitetaan helpolla esimerkillä, vaativampi esimerkki on artikkelin lopussa. Oletetaan alussa, että meillä on kaksi lukua, jotka haluamme kertoa keskenään. Työskentelemme toistaiseksi vain luonnollisilla luvuilla. Sanotaan, että haluamme kertoa luvut 13 · 72. Kirjoitamme luvut allekkain ja vedämme niiden alle viivan:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Aloitamme kertomalla alemman luvun viimeisen numeron (ykkösten paikalla) kaikilla ylemmän luvun numeroilla. Aloitamme taas oikealta, joten ensimmäisenä kerrotaan 2 · 3 = 6. Tulos kirjoitetaan suoraan numeron 2 alle. Seuraavaksi kerrotaan numero 2 oikealta toisella numerolla, eli lasketaan 2 · 1 = 2. Tämä tulos kirjoitetaan suoraan numeron 7 alle:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Siirrytään alemmassa luvussa yksi numero vasemmalle, päästään numeroon 7, ja toimitaan samoin. Koska olemme kuitenkin siirtyneet yhden paikan (seiska tarkoittaa kymmeniä, kakkonen ykkösiä), meidän on siirryttävä yksi paikka myös viivan alla. Oikealle alas, kuutosen alle, kirjoitetaan nolla. Sen jälkeen jatketaan samalla tavalla.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Kerromme siis 7 · 3 = 21. Tässä tulee ongelma: voimme kirjoittaa vain yhden numeron, emme voi kirjoittaa lukua 21, koska se on kaksi numeroa. Ratkaisemme asian jakamalla luvun kahteen numeroon: oikeanpuoleisen, eli 1, kirjoitamme paperille ja vasemmanpuoleisen, eli 2, muistamme seuraavaa kierrosta varten. Siis: 1 kirjoitetaan paperille, 2 muistetaan. Kirjoitamme sen heti nollan viereen.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Seuraavaksi kerrotaan numero 7 ylemmän luvun numerolla 1: 7 · 1 = 7. Nyt on vuorossa muistamamme numero 2: lisäämme sen tähän tulokseen: 7 + 2 = 9. Tämä luku kirjoitetaan numeron 1 vasemmalle puolelle alimmalle riville:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Jäljellä on viimeinen vaihe: viivan alla olevat luvut lasketaan yhteen.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Tulokseksi saadaan 936, joka on juuri tulo 13 · 72.

Miksi menetelmä toimii

Kertolaskun voi jakaa yksinkertaisempiin tuloihin ja summiin näin: voimme kirjoittaa, että 13 · 72 on sama kuin 13 · 2 + 13 · 70. Tässä voi nähdä yhteisen tekijän erottamisen, mutta tavallinen maalaisjärki riittää: jos laskemme lukua kolmetoista yhteen seitsemänkymmentäkaksi kertaa, se on sama asia kuin laskisimme luvun kolmetoista yhteen seitsemänkymmentä kertaa ja lisäisimme vielä kaksi kolmeatoista.

Kuvattu menetelmä ei tuota muuta kuin nämä osatulot. Kuten huomaat, viivan alle tuli luvut 26 ja 910. Näille pätee 26 = 2 · 13 ja 910 = 70 · 13.

Jotta tulos todella täsmäisi, toiselle riville piti kirjoittaa nolla, koska laskimme todellisuudessa 7 · 13. Jotta tästä saataisiin tulo 70 · 13, tulokseen on lisättävä vielä yksi nolla.

Vaativampi esimerkki

Laske: 28 · 617. Kirjoitetaan ensin luvut allekkain:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

Ensimmäisessä vaiheessa lasketaan: 7 · 8 = 56. Kirjoitetaan 6, 5 siirtyy eteenpäin.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Seuraavaksi: 7 · 2 = 14, lisätään edellisestä vaiheesta 5: 14 + 5 = 19. Kirjoitetaan 9, 1 siirtyy eteenpäin.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Koska kerrottavaa ei enää ole, kirjoitetaan ykkönen:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Siirrytään toiselle riville. Kirjoitetaan nolla ja kerrotaan: 1 · 8 = 8, kirjoitetaan 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Seuraavaksi: 1 · 2 = 2, kirjoitetaan 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Ja siirrytään kolmannelle riville. Siirrymme taas yhden paikan eteenpäin, joten kirjoitamme yhden nollan enemmän kuin edellisellä rivillä:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Ja kerrotaan: 6 · 8 = 48, 8 kirjoitetaan, 4 siirtyy eteenpäin.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Seuraavaksi: 6 · 2 = 12, lisätään 4, joten saadaan 12 + 4 = 16. 6 kirjoitetaan, 1 siirtyy eteenpäin.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Koska kerrottavaa ei enää ole, kirjoitetaan ykkönen:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Ja nyt lasketaan yhteen kaikki kolme viivan alla olevaa lukua:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$