Κάθετος πολλαπλασιασμός
Πώς να πολλαπλασιάσεις δύο αριθμούς μόνο με μολύβι και χαρτί.
Διαδικασία του πολλαπλασιασμού στο χαρτί
Ξεκινάμε με ένα εύκολο παράδειγμα, το πιο σύνθετο παράδειγμα είναι στο τέλος του άρθρου. Στην αρχή υποθέτουμε ότι έχουμε δύο αριθμούς που θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε. Προς το παρόν θα δουλεύουμε μόνο με φυσικούς αριθμούς. Ας πούμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 13 · 72. Γράφουμε αυτούς τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον και τραβάμε από κάτω μια γραμμή:
Αρχίζουμε να πολλαπλασιάζουμε το τελευταίο ψηφίο (στη θέση των μονάδων) του κάτω αριθμού με όλα τα ψηφία του πάνω αριθμού. Ξεκινάμε πάλι από τα δεξιά, οπότε πρώτα πολλαπλασιάζουμε 2 · 3 = 6. Το αποτέλεσμα το γράφουμε ακριβώς κάτω από το ψηφίο 2. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο 2 με το δεύτερο ψηφίο από τα δεξιά, οπότε πολλαπλασιάζουμε 2 · 1 = 2. Αυτό το αποτέλεσμα το γράφουμε ακριβώς κάτω από το 7:
Στον κάτω αριθμό μετακινούμαστε κατά ένα ψηφίο αριστερά, φτάνουμε στο ψηφίο 7 και κάνουμε την ίδια διαδικασία. Επειδή όμως μετακινηθήκαμε κατά μία τάξη (το επτά παριστάνει δεκάδες, ενώ το δύο μονάδες), πρέπει να μετακινηθούμε κατά μία τάξη και κάτω από τη γραμμή. Δεξιά κάτω, κάτω από το έξι, γράφουμε ένα μηδέν. Από εκεί και πέρα συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο.
Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν 7 · 3 = 21. Εδώ έρχεται η παγίδα – μπορούμε να γράψουμε μόνο ένα ψηφίο, δεν μπορούμε να γράψουμε εκεί το 21 – αυτά είναι δύο ψηφία. Το λύνουμε χωρίζοντας τον αριθμό σε δύο ψηφία: το δεξιό, δηλαδή το 1, το γράφουμε στο χαρτί και το αριστερό ψηφίο, δηλαδή το 2, το θυμόμαστε για τον επόμενο γύρο. Δηλαδή: το 1 το γράφουμε στο χαρτί, το 2 το κρατάμε. Το ένα το γράφουμε αμέσως δίπλα στο μηδέν.
Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο 7 με το ψηφίο 1 του πάνω αριθμού: 7 · 1 = 7. Τώρα έρχεται η σειρά του ψηφίου 2 που κρατήσαμε: το προσθέτουμε σε αυτό το αποτέλεσμα: 7 + 2 = 9. Αυτόν τον αριθμό τον γράφουμε αριστερά από το ψηφίο 1 στην κατώτατη γραμμή:
Μένει το τελευταίο βήμα: να προσθέσουμε τους αριθμούς κάτω από τη γραμμή.
Βγαίνει ο αριθμός 936, που είναι ακριβώς το γινόμενο 13 · 72.
Γιατί λειτουργεί
Τον πολλαπλασιασμό μπορούμε να τον αναλύσουμε σε απλούστερα γινόμενα και αθροίσματα ως εξής: μπορούμε να γράψουμε ότι το 13 · 72 είναι το ίδιο με 13 · 2 + 13 · 70. Μπορείς να δεις εδώ εξαγωγή κοινού παράγοντα, αλλά αρκεί η απλή λογική: αν προσθέτω εβδομήντα δύο φορές τον αριθμό δεκατρία, είναι το ίδιο σαν να πρόσθετα εβδομήντα φορές τον αριθμό δεκατρία και μετά να πρόσθετα ακόμη δύο φορές το δεκατρία.
Η διαδικασία που περιγράφηκε δεν δημιουργεί τίποτε άλλο από αυτά τα διαδοχικά γινόμενα. Αν προσέξεις, κάτω από τη γραμμή πήραμε τους αριθμούς 26 και 910. Και ισχύει ότι 26 = 2 · 13 και 910 = 70 · 13.
Για να βγαίνει πραγματικά σωστό, έπρεπε στη δεύτερη γραμμή να προσθέσουμε ένα μηδέν – επειδή στην πραγματικότητα υπολογίζαμε 7 · 13. Για να πάρουμε από αυτό το γινόμενο 70 · 13, πρέπει να προσθέσουμε στο αποτέλεσμα ακόμη ένα μηδέν.
Πιο σύνθετο παράδειγμα
Υπολόγισε: 28 · 617. Πρώτα γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον:
Στο πρώτο βήμα υπολογίζουμε: 7 · 8 = 56. Γράφουμε 6, το 5 το κρατάμε.
Στη συνέχεια: 7 · 2 = 14, προσθέτουμε το 5 από πριν: 14 + 5 = 19. Γράφουμε 9, το 1 το κρατάμε.
Επειδή δεν έχουμε πια τι να πολλαπλασιάσουμε, γράφουμε το ένα που κρατάμε:
Πάμε στη δεύτερη γραμμή. Γράφουμε ένα μηδέν και πολλαπλασιάζουμε: 1 · 8 = 8, γράφουμε 8:
Στη συνέχεια: 1 · 2 = 2, γράφουμε 2:
Και πάμε στην τρίτη γραμμή. Μετακινούμαστε μία ακόμη τάξη παραπέρα, οπότε γράφουμε ένα μηδέν περισσότερο από πριν:
Και πολλαπλασιάζουμε: 6 · 8 = 48, το 8 το γράφουμε, το 4 το κρατάμε.
Στη συνέχεια: 6 · 2 = 12, προσθέτουμε το 4, οπότε παίρνουμε 12 + 4 = 16. Το 6 το γράφουμε, το 1 το κρατάμε.
Επειδή δεν έχουμε πια τι να πολλαπλασιάσουμε, γράφουμε το ένα που κρατάμε:
Και τώρα προσθέτουμε και τους τρεις αριθμούς κάτω από τη γραμμή:
Κεφάλαια: Πολλαπλασιασμός, Κάθετος πολλαπλασιασμός, Πολλαπλασιασμός αρνητικών αριθμών
