Schriftliche Multiplikation
Wie man zwei Zahlen nur mit Stift und Papier multipliziert.
Vorgehen bei der schriftlichen Multiplikation
Wir beginnen mit einem leichten Beispiel, ein komplexeres Beispiel steht am Ende des Artikels. Am Anfang nehmen wir an, dass wir zwei Zahlen haben, die wir multiplizieren wollen. Wir arbeiten vorerst nur mit natürlichen Zahlen. Sagen wir, wir wollen die Zahlen 13 · 72 multiplizieren. Diese Zahlen schreiben wir untereinander und ziehen darunter einen Strich:
Wir beginnen damit, die letzte Ziffer (an der Einerstelle) der unteren Zahl mit allen Ziffern der oberen Zahl zu multiplizieren. Wir beginnen wieder rechts, als Erstes multiplizieren wir also 2 · 3 = 6. Das Ergebnis schreiben wir direkt unter die Ziffer 2. Weiter multiplizieren wir die Ziffer 2 mit der zweiten Ziffer von rechts, also multiplizieren wir 2 · 1 = 2. Dieses Ergebnis schreiben wir direkt unter die 7:
Wir rücken in der unteren Zahl um eine Ziffer nach links, kommen zur Ziffer 7 und gehen genauso vor. Weil wir aber um eine Stelle weitergerückt sind (die Sieben stellt Zehner dar, die Zwei dagegen Einer), müssen wir auch unter dem Strich um eine Stelle weiterrücken. Rechts unten, unter die Sechs, schreiben wir eine Null. Dann machen wir genauso weiter.
Wir multiplizieren also 7 · 3 = 21. Hier kommt der Haken – wir können nur eine Ziffer hinschreiben, wir können dort nicht 21 schreiben – das sind zwei Ziffern. Wir lösen das, indem wir die Zahl in zwei Ziffern aufteilen: Die rechte, also 1, schreiben wir aufs Papier, und die linke Ziffer, also 2, merken wir uns für die nächste Runde. Also: 1 schreiben wir aufs Papier, 2 merken wir uns. Wir schreiben sie gleich neben die Null.
Weiter multiplizieren wir die Ziffer 7 mit der Ziffer 1 in der oberen Zahl: 7 · 1 = 7. Jetzt kommt unsere Ziffer 2 an die Reihe, die wir uns gemerkt haben: Wir addieren sie zu diesem Ergebnis: 7 + 2 = 9. Diese Zahl schreiben wir links von der Ziffer 1 in die unterste Zeile:
Es bleibt der letzte Schritt: die Zahlen unter dem Strich addieren.
Wir erhalten die Zahl 936, und das ist eben das Produkt 13 · 72.
Warum es funktioniert
Die Multiplikation können wir in einfachere Produkte und Summen zerlegen, und zwar so: Wir können schreiben, dass 13 · 72 dasselbe ist wie 13 · 2 + 13 · 70. Du kannst darin Ausklammern sehen, aber es genügt der gesunde Menschenverstand: Wenn ich zweiundsiebzigmal die Zahl dreizehn addiere, ist das dasselbe, als würde ich siebzigmal die Zahl dreizehn addieren und dann noch zweimal die Dreizehn dazuzählen.
Das beschriebene Vorgehen erzeugt nichts anderes als diese schrittweisen Produkte. Wenn du genau hinsiehst, haben wir unter dem Strich die Zahlen 26 und 910 erhalten. Dabei gilt, dass 26 = 2 · 13 und 910 = 70 · 13.
Damit es wirklich stimmt, mussten wir in der zweiten Zeile die Null anfügen – weil wir in Wirklichkeit 7 · 13 gerechnet haben. Um daraus das Produkt 70 · 13 zu erhalten, muss man zum Ergebnis noch eine Null anfügen.
Schwierigeres Beispiel
Berechne: 28 · 617. Als Erstes schreiben wir die Zahlen untereinander:
Im ersten Schritt rechnen wir: 7 · 8 = 56. Wir schreiben 6, 5 geht weiter.
Weiter: 7 · 2 = 14, wir addieren die 5 von vorhin: 14 + 5 = 19. Wir schreiben 9, 1 geht weiter.
Weil wir nichts mehr zu multiplizieren haben, schreiben wir die Eins dazu:
Wir gehen zur zweiten Zeile. Wir schreiben eine Null und multiplizieren: 1 · 8 = 8, wir schreiben 8:
Weiter: 1 · 2 = 2, wir schreiben 2:
Und wir gehen zur dritten Zeile. Wir rücken um eine weitere Stelle weiter, also schreiben wir eine Null mehr als vorher:
Und wir multiplizieren: 6 · 8 = 48, 8 schreiben wir, 4 geht weiter.
Weiter: 6 · 2 = 12, wir addieren 4, also erhalten wir 12 + 4 = 16. 6 schreiben wir, 1 geht weiter.
Weil wir nichts mehr zu multiplizieren haben, schreiben wir die Eins dazu:
Und jetzt addieren wir alle drei Zahlen unter dem Strich:
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