Moltiplicazione in colonna

Come moltiplicare due numeri solo con carta e matita.

Procedimento della moltiplicazione in colonna

Cominciamo con un esempio facile, un esempio più complesso si trova alla fine dell’articolo. All’inizio supponiamo di avere due numeri da moltiplicare. Per ora lavoreremo solo con i numeri naturali. Per esempio, vogliamo moltiplicare i numeri 13 · 72. Scriviamo questi numeri uno sotto l’altro e sotto di essi tracciamo una linea:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Cominciamo moltiplicando l’ultima cifra (quella delle unità) del numero in basso per tutte le cifre del numero in alto. Anche qui partiamo da destra, quindi per prima cosa moltiplichiamo 2 · 3 = 6. Il risultato lo scriviamo direttamente sotto la cifra 2. Poi moltiplichiamo la cifra 2 per la seconda cifra da destra, quindi moltiplichiamo 2 · 1 = 2. Questo risultato lo scriviamo direttamente sotto il 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Nel numero in basso ci spostiamo di una cifra a sinistra, arriviamo alla cifra 7 e facciamo lo stesso procedimento. Poiché però ci siamo spostati di un ordine (il sette rappresenta le decine, mentre il due le unità), dobbiamo spostarci di un ordine anche sotto la linea. In basso a destra, sotto il sei, scriviamo uno zero. Poi proseguiamo allo stesso modo.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Moltiplichiamo quindi 7 · 3 = 21. Qui arriva il tranello: possiamo scrivere una sola cifra, non possiamo scrivere 21, che sono due cifre. Lo risolviamo separando il numero nelle sue due cifre: quella di destra, cioè 1, la scriviamo sul foglio e quella di sinistra, cioè 2, la teniamo a mente per il giro successivo. Quindi: 1 lo scriviamo, 2 lo teniamo a mente (è il «riporto»). L’uno lo scriviamo subito accanto allo zero.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Poi moltiplichiamo la cifra 7 per la cifra 1 del numero in alto: 7 · 1 = 7. Ora tocca al nostro 2, che avevamo tenuto a mente: lo aggiungiamo a questo risultato: 7 + 2 = 9. Questo numero lo scriviamo a sinistra della cifra 1 nella riga più in basso:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Resta l’ultimo passo: sommare i numeri sotto la linea.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Otteniamo il numero 936, che è proprio il prodotto 13 · 72.

Perché funziona

La moltiplicazione si può scomporre in prodotti e somme più semplici così: possiamo scrivere che 13 · 72 equivale a 13 · 2 + 13 · 70. Puoi vederci un raccoglimento a fattor comune, ma basta il semplice buon senso: se sommo settantadue volte il numero tredici, è lo stesso che sommare settanta volte il tredici e poi aggiungere ancora due tredici.

Il procedimento descritto non crea nient’altro che questi prodotti successivi. Se ci fai caso, sotto la linea abbiamo ottenuto i numeri 26 e 910. Vale infatti che 26 = 2 · 13 e 910 = 70 · 13.

Perché tutto torni, nella seconda riga abbiamo dovuto aggiungere uno zero, perché in realtà calcolavamo 7 · 13. Per ottenere da questo il prodotto 70 · 13, bisogna aggiungere al risultato ancora uno zero.

Un esempio più complesso

Calcola: 28 · 617. Per prima cosa scriviamo i numeri uno sotto l’altro:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

Nel primo passo calcoliamo: 7 · 8 = 56. Scriviamo 6 e riportiamo 5.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Poi: 7 · 2 = 14, aggiungiamo il 5 di prima: 14 + 5 = 19. Scriviamo 9 e riportiamo 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Poiché non c’è più niente da moltiplicare, scriviamo l’uno:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Passiamo alla seconda riga. Scriviamo uno zero e moltiplichiamo: 1 · 8 = 8, scriviamo 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Poi: 1 · 2 = 2, scriviamo 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

E passiamo alla terza riga. Ci spostiamo di un altro ordine, quindi scriviamo uno zero in più di prima:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

E moltiplichiamo: 6 · 8 = 48, scriviamo 8 e riportiamo 4.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Poi: 6 · 2 = 12, aggiungiamo 4, quindi otteniamo 12 + 4 = 16. Scriviamo 6 e riportiamo 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Poiché non c’è più niente da moltiplicare, scriviamo l’uno:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

E ora sommiamo tutti e tre i numeri sotto la linea:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$