Skriftlig multiplikation

Sådan ganger du to tal sammen kun med blyant og papir.

Fremgangsmåde ved skriftlig multiplikation

Vi starter med et let eksempel, et mere kompliceret eksempel findes til sidst i artiklen. Til at begynde med antager vi, at vi har to tal, som vi vil gange sammen. Vi arbejder indtil videre kun med naturlige tal. Lad os sige, at vi vil gange tallene 13 · 72. Tallene skriver vi under hinanden og sætter en streg under dem:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Vi begynder med at gange det sidste ciffer (på enerpladsen) i det nederste tal med alle cifrene i det øverste tal. Vi starter igen fra højre, så først ganger vi 2 · 3 = 6. Resultatet skriver vi lige under cifferet 2. Derefter ganger vi cifferet 2 med det næstsidste ciffer, så vi ganger 2 · 1 = 2. Dette resultat skriver vi lige under 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Vi rykker et ciffer til venstre i det nederste tal, kommer til cifferet 7 og gør det samme. Men fordi vi er rykket en plads (7'eren står for tiere, mens 2'eren står for enere), må vi også rykke en plads under stregen. Til højre nedenunder, under 6'eren, skriver vi et nul. Derefter fortsætter vi på samme måde.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Vi ganger altså 7 · 3 = 21. Her er der en fælde — vi kan kun skrive ét ciffer, vi kan ikke skrive 21 — det er to cifre. Vi løser det ved at dele tallet i to cifre: det højre, altså 1, skriver vi på papiret, og det venstre, altså 2, husker vi til næste runde. Altså: 1 skriver vi på papiret, 2 har vi i mente. 1-tallet skriver vi lige ved siden af nullet.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Derefter ganger vi cifferet 7 med cifferet 1 i det øverste tal: 7 · 1 = 7. Nu er det vores ciffer 2, som vi har i mente, der kommer på banen: vi lægger det til dette resultat: 7 + 2 = 9. Dette tal skriver vi til venstre for cifferet 1 i den nederste række:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Der er et sidste skridt tilbage: at lægge tallene under stregen sammen.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Vi får tallet 936, og det er netop produktet 13 · 72.

Hvorfor det virker

Multiplikationen kan vi opdele i enklere produkter og summer på denne måde: vi kan skrive, at 13 · 72 er det samme som 13 · 2 + 13 · 70. Du kan se det som at sætte uden for parentes, men sund fornuft er nok: hvis jeg lægger tretten sammen tooghalvfjerds gange, er det det samme, som hvis jeg lagde tretten sammen halvfjerds gange og så tilføjede tretten to gange til.

Den beskrevne fremgangsmåde skaber ikke andet end disse delvise produkter. Hvis du lægger mærke til det, fik vi under stregen tallene 26 og 910. Og der gælder, at 26 = 2 · 13 og 910 = 70 · 13.

For at det virkelig passer, måtte vi skrive et nul til i den anden række — fordi vi i virkeligheden regnede 7 · 13. For at få produktet 70 · 13 ud af det skal vi tilføje endnu et nul til resultatet.

Et sværere eksempel

Beregn: 28 · 617. Først skriver vi tallene under hinanden:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

I første skridt regner vi: 7 · 8 = 56. Vi skriver 6, og 5 går videre.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Derefter: 7 · 2 = 14, vi lægger 5 fra før til: 14 + 5 = 19. Vi skriver 9, og 1 går videre.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Da vi ikke har mere at gange, skriver vi tallet 1 til:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Vi går til anden række. Vi skriver et nul og ganger: 1 · 8 = 8, vi skriver 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Derefter: 1 · 2 = 2, vi skriver 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Og vi går til tredje række. Vi rykker endnu en plads, så vi skriver et nul mere end før:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Og vi ganger: 6 · 8 = 48, vi skriver 8, og 4 går videre.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Derefter: 6 · 2 = 12, vi lægger 4 til, så vi får 12 + 4 = 16. Vi skriver 6, og 1 går videre.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Da vi ikke har mere at gange, skriver vi tallet 1 til:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Og nu lægger vi alle tre tal under stregen sammen:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$