Multiplication posée
Comment multiplier deux nombres avec seulement un crayon et du papier.
Déroulement de la multiplication posée
Nous commençons par un exemple simple ; un exemple plus complexe se trouve à la fin de l’article. Pour commencer, supposons que nous ayons deux nombres à multiplier. Nous travaillerons pour l’instant uniquement avec des entiers naturels. Disons que nous voulons multiplier 13 · 72. On écrit ces nombres l’un sous l’autre et on trace un trait sous eux :
On commence par multiplier le dernier chiffre (celui des unités) du nombre du bas par tous les chiffres du nombre du haut. On commence de nouveau par la droite, donc on calcule d’abord 2 · 3 = 6. On écrit le résultat directement sous le chiffre 2. Ensuite, on multiplie le 2 par le deuxième chiffre en partant de la droite, donc 2 · 1 = 2. On écrit ce résultat directement sous le 7 :
On décale d’un chiffre vers la gauche dans le nombre du bas, on arrive au 7, et on applique la même méthode. Comme on a décalé d’un rang (le sept représente des dizaines, alors que le deux représente des unités), il faut aussi décaler d’un rang sous le trait. À droite, sous le six, on écrit donc un zéro. Ensuite, on continue de la même façon.
On calcule ainsi 7 · 3 = 21. Et là, c’est le piège : on ne peut écrire qu’un seul chiffre, on ne peut pas écrire 21, qui en comporte deux. On s’y prend donc en séparant le nombre en deux chiffres : on écrit sur le papier celui de droite, c’est-à-dire 1, et on garde en mémoire celui de gauche, c’est-à-dire 2, pour le tour suivant. Donc : on écrit le 1, on retient le 2. Le 1 s’écrit juste à côté du zéro.
Ensuite, on multiplie le 7 par le chiffre 1 du nombre du haut : 7 · 1 = 7. Vient alors le tour du 2 que nous avons retenu : on l’ajoute à ce résultat, 7 + 2 = 9. On écrit ce nombre à gauche du 1, sur la dernière ligne :
Reste une dernière étape : additionner les nombres situés sous le trait.
On obtient le nombre 936, qui est bien le produit 13 · 72.
Pourquoi ça fonctionne
On peut décomposer une multiplication en produits et sommes plus simples : 13 · 72 est la même chose que 13 · 2 + 13 · 70. On peut y voir une mise en facteur, mais le bon sens suffit : si j’additionne treize soixante-douze fois, c’est la même chose que d’additionner treize soixante-dix fois, puis d’ajouter encore deux fois treize.
La méthode décrite ne fait rien d’autre que calculer ces produits partiels. Si tu regardes bien, les nombres sous le trait sont 26 et 910. Or 26 = 2 · 13 et 910 = 70 · 13.
Pour que cela colle vraiment, il a fallu écrire un zéro dans la deuxième ligne, car on calculait en réalité 7 · 13. Pour obtenir le produit 70 · 13, il faut encore ajouter un zéro au résultat.
Exemple plus difficile
Calcule : 28 · 617. On commence par écrire les nombres l’un sous l’autre :
Dans la première étape, on calcule : 7 · 8 = 56. On écrit 6, et 5 passe à la colonne suivante.
Ensuite : 7 · 2 = 14, on ajoute le 5 de tout à l’heure : 14 + 5 = 19. On écrit 9, et 1 passe à la colonne suivante.
Comme il n’y a plus rien à multiplier, on écrit le 1 :
Passons à la deuxième ligne. On écrit un zéro et on multiplie : 1 · 8 = 8, on écrit 8 :
Ensuite : 1 · 2 = 2, on écrit 2 :
Et nous passons à la troisième ligne. On se décale encore d’un rang, on écrit donc un zéro de plus qu’avant :
On multiplie : 6 · 8 = 48, on écrit 8 et 4 passe à la colonne suivante.
Ensuite : 6 · 2 = 12, on ajoute le 4, donc 12 + 4 = 16. On écrit 6, et 1 passe à la colonne suivante.
Comme il n’y a plus rien à multiplier, on écrit le 1 :
Il ne reste plus qu’à additionner les trois nombres sous le trait :
Chapitres: Multiplication, Multiplication posée, Multiplication de nombres négatifs
