Multiplicação no papel

Como multiplicar dois números usando apenas lápis e papel.

Procedimento da multiplicação no papel

Vamos começar com um exemplo fácil; um exemplo mais complexo está no final do artigo. No início supomos que temos dois números que queremos multiplicar. Por enquanto trabalharemos apenas com números naturais. Digamos que queremos multiplicar os números 13 · 72. Escrevemos esses números um embaixo do outro e traçamos uma linha embaixo deles:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Começamos multiplicando o último algarismo (na posição das unidades) do número de baixo por todos os algarismos do número de cima. Começamos de novo pela direita, então primeiro multiplicamos 2 · 3 = 6. Escrevemos o resultado logo embaixo do algarismo 2. Depois multiplicamos o algarismo 2 pelo segundo algarismo da direita, ou seja, multiplicamos 2 · 1 = 2. Escrevemos esse resultado logo embaixo do 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

No número de baixo, passamos um algarismo para a esquerda, chegamos ao algarismo 7 e repetimos o procedimento. Só que, como avançamos uma ordem (o sete representa dezenas, enquanto o dois representa unidades), também precisamos avançar uma ordem embaixo da linha. À direita, embaixo do seis, escrevemos um zero. Depois continuamos do mesmo jeito.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Multiplicamos então 7 · 3 = 21. Aqui vem a pegadinha: só podemos escrever um algarismo, não dá para escrever 21, que são dois algarismos. Resolvemos isso dividindo o número em dois algarismos: o da direita, isto é, 1, escrevemos no papel, e o da esquerda, isto é, 2, guardamos para a rodada seguinte. Ou seja: 1 escrevemos no papel, 2 guardamos de cabeça. Escrevemos o um logo ao lado do zero.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Em seguida multiplicamos o algarismo 7 pelo algarismo 1 do número de cima: 7 · 1 = 7. Agora chega a vez do nosso algarismo 2, que guardamos de cabeça: somamos esse algarismo ao resultado: 7 + 2 = 9. Escrevemos esse número à esquerda do algarismo 1, na linha de baixo:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Falta o último passo: somar os números que estão embaixo da linha.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Obtemos o número 936, que é justamente o produto 13 · 72.

Por que isso funciona

Podemos decompor a multiplicação em produtos e somas mais simples assim: podemos escrever que 13 · 72 é o mesmo que 13 · 2 + 13 · 70. Você pode ver nisso a colocação em evidência, mas basta o bom senso: somar setenta e duas vezes o número treze é o mesmo que somar setenta vezes o número treze e depois acrescentar mais duas vezes o treze.

O procedimento descrito não cria nada além desses produtos sucessivos. Se você reparar, embaixo da linha obtivemos os números 26 e 910. E vale que 26 = 2 · 13 e 910 = 70 · 13.

Para que tudo realmente bata, tivemos de escrever na segunda linha um zero, porque na verdade calculamos 7 · 13. Para obter a partir disso o produto 70 · 13, é preciso acrescentar ao resultado mais um zero.

Um exemplo mais complexo

Calcule: 28 · 617. Primeiro escrevemos os números um embaixo do outro:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

No primeiro passo calculamos: 7 · 8 = 56. Escrevemos 6, e o 5 vai para o passo seguinte.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Depois: 7 · 2 = 14, somamos o 5 de antes: 14 + 5 = 19. Escrevemos 9, e o 1 vai para o passo seguinte.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Como não temos mais o que multiplicar, completamos com o um:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Vamos para a segunda linha. Completamos com um zero e multiplicamos: 1 · 8 = 8, escrevemos 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Depois: 1 · 2 = 2, escrevemos 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

E vamos para a terceira linha. Avançamos mais uma ordem, então escrevemos um zero a mais do que antes:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

E multiplicamos: 6 · 8 = 48, escrevemos o 8, e o 4 vai adiante.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Depois: 6 · 2 = 12, somamos o 4, então obtemos 12 + 4 = 16. Escrevemos o 6, e o 1 vai adiante.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Como não temos mais o que multiplicar, completamos com o um:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

E agora somamos os três números que estão embaixo da linha:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$