Írásbeli szorzás

Hogyan szorozzunk össze két számot csak ceruza és papír segítségével.

Az írásbeli szorzás menete

Egy könnyű példával kezdünk, a bonyolultabb példa a cikk végén van. Az elején feltételezzük, hogy van két számunk, amelyet össze akarunk szorozni. Egyelőre csak természetes számokkal dolgozunk. Tegyük fel, hogy a 13 · 72 szorzatot akarjuk kiszámolni. A két számot egymás alá írjuk, és alájuk húzunk egy vonalat:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Az alsó szám utolsó számjegyét (az egyesek helyén álló számjegyet) megszorozzuk a felső szám összes számjegyével. Itt is jobbról kezdünk, tehát először ezt számoljuk ki: 2 · 3 = 6. Az eredményt közvetlenül a 2 számjegy alá írjuk. Ezután a 2 számjegyet megszorozzuk a jobbról második számjeggyel, vagyis kiszámoljuk: 2 · 1 = 2. Ezt az eredményt közvetlenül a 7 alá írjuk:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Az alsó számban egy számjeggyel balra lépünk, eljutunk a 7 számjegyhez, és ugyanúgy járunk el. Mivel azonban egy helyi értéket léptünk (a hetes tízeseket jelent, a kettes egyeseket), a vonal alatt is egy helyi értékkel el kell lépnünk. Jobbra lent, a hatos alá nullát írunk. Aztán ugyanúgy folytatjuk.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Kiszámoljuk tehát: 7 · 3 = 21. Itt van a bökkenő – csak egy számjegyet írhatunk le, a 21-et nem írhatjuk oda, mert az két számjegy. Úgy oldjuk meg, hogy a számot két számjegyre bontjuk: a jobb oldalit, vagyis az 1-et, felírjuk a papírra, a bal oldalit, vagyis a 2-t, pedig megjegyezzük a következő körre. Tehát: 1-et írunk, 2-t megjegyzünk. Az egyest rögtön a nulla mellé írjuk.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Ezután a 7 számjegyet megszorozzuk a felső szám 1 számjegyével: 7 · 1 = 7. Most jön az általunk megjegyzett 2 számjegy: hozzáadjuk ehhez az eredményhez: 7 + 2 = 9. Ezt a számot az 1 számjegytől balra írjuk, a legalsó sorba:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Már csak az utolsó lépés van hátra: összeadjuk a vonal alatti számokat.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Az eredmény 936, ami éppen a 13 · 72 szorzat.

Miért működik

A szorzást egyszerűbb szorzatokra és összegekre bonthatjuk így: felírhatjuk, hogy a 13 · 72 ugyanaz, mint a 13 · 2 + 13 · 70. Láthatsz ebben kiemelést is, de elég a józan ész: ha a tizenhármat hetvenkétszer adom össze, az ugyanaz, mintha hetvenszer összeadnám a tizenhármat, és még két tizenhármast hozzátennék.

A leírt eljárás nem csinál mást, mint hogy előállítja ezeket a részszorzatokat. Ha megnézed, a vonal alatt a 26 és a 910 számot kaptuk. És valóban: 26 = 2 · 13 és 910 = 70 · 13.

Hogy ez valóban stimmeljen, a második sorba nullát kellett írnunk – mert valójában a 7 · 13 szorzatot számoltuk ki. Hogy ebből a 70 · 13 szorzatot kapjuk, az eredményhez még egy nullát kell hozzáfűzni.

Bonyolultabb példa

Számítsd ki: 28 · 617. Először egymás alá írjuk a számokat:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

Az első lépésben ezt számoljuk: 7 · 8 = 56. Leírjuk a 6-ot, az 5 megy tovább.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Ezután: 7 · 2 = 14, hozzáadjuk az előbbi 5-öt: 14 + 5 = 19. Leírjuk a 9-et, az 1 megy tovább.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Mivel már nincs mit szorozni, odaírjuk az egyest:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Jöhet a második sor. Odaírjuk a nullát, és szorzunk: 1 · 8 = 8, leírjuk a 8-at:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Ezután: 1 · 2 = 2, leírjuk a 2-t:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

És jöhet a harmadik sor. Újabb helyi értékkel lépünk tovább, ezért az előzőnél eggyel több nullát írunk:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

És szorzunk: 6 · 8 = 48, a 8-at leírjuk, a 4 megy tovább.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Ezután: 6 · 2 = 12, hozzáadjuk a 4-et, tehát 12 + 4 = 16. A 6-ot leírjuk, az 1 megy tovább.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Mivel már nincs mit szorozni, odaírjuk az egyest:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

És most összeadjuk a vonal alatti három számot:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$