Cijferend vermenigvuldigen

Hoe je twee getallen met alleen potlood en papier vermenigvuldigt.

De werkwijze van het cijferend vermenigvuldigen

We beginnen met een makkelijk voorbeeld, een moeilijker voorbeeld staat aan het eind van het artikel. Aan het begin nemen we aan dat we twee getallen hebben die we willen vermenigvuldigen. We werken voorlopig alleen met natuurlijke getallen. Stel dat we de getallen 13 · 72 willen vermenigvuldigen. We schrijven deze getallen onder elkaar en trekken eronder een streep:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

We beginnen met het laatste cijfer (op de plaats van de eenheden) van het onderste getal en vermenigvuldigen dat met alle cijfers van het bovenste getal. We beginnen weer rechts, dus eerst vermenigvuldigen we 2 · 3 = 6. De uitkomst schrijven we direct onder het cijfer 2. Daarna vermenigvuldigen we het cijfer 2 met het tweede cijfer van rechts, dus we rekenen 2 · 1 = 2. Deze uitkomst schrijven we direct onder de 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

We schuiven in het onderste getal één cijfer naar links en komen bij het cijfer 7. Daar doen we hetzelfde. Maar omdat we een plaats zijn opgeschoven (de zeven stelt tientallen voor, de twee eenheden), moeten we ook onder de streep een plaats opschuiven. Rechtsonder, onder de zes, schrijven we een nul. Daarna gaan we gewoon verder.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

We vermenigvuldigen dus 7 · 3 = 21. Hier komt de valkuil — we mogen maar één cijfer opschrijven, we kunnen hier niet 21 neerzetten, want dat zijn twee cijfers. We lossen dat op door het getal in twee cijfers te splitsen: het rechter, dus 1, schrijven we op en het linker, dus 2, onthouden we voor de volgende ronde. We schrijven dus 1 op en onthouden 2. Die schrijven we direct naast de nul.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Daarna vermenigvuldigen we het cijfer 7 met het cijfer 1 in het bovenste getal: 7 · 1 = 7. Nu is ons onthouden cijfer 2 aan de beurt: dat tellen we bij deze uitkomst op: 7 + 2 = 9. Dit getal schrijven we links van het cijfer 1 in de onderste rij:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Er blijft nog één stap over: de getallen onder de streep optellen.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

We krijgen het getal 936, en dat is precies het product 13 · 72.

Waarom het werkt

We kunnen het vermenigvuldigen splitsen in eenvoudiger producten en sommen: we kunnen schrijven dat 13 · 72 hetzelfde is als 13 · 2 + 13 · 70. Je kunt hierin buiten haakjes brengen herkennen, maar gezond verstand is genoeg: als ik tweeënzeventig keer het getal dertien optel, is dat hetzelfde als zeventig keer het getal dertien optellen en er daarna nog twee keer dertien bij doen.

De beschreven werkwijze doet niets anders dan deze deelproducten maken. Als je goed kijkt, hebben we onder de streep de getallen 26 en 910 gekregen. En er geldt dat 26 = 2 · 13 en 910 = 70 · 13.

Om het echt te laten kloppen, moesten we in de tweede rij een nul toevoegen — want eigenlijk rekenden we 7 · 13 uit. Om hieruit het product 70 · 13 te krijgen, moet je nog een nul achter de uitkomst zetten.

Een lastiger voorbeeld

Bereken: 28 · 617. Eerst schrijven we de getallen onder elkaar:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

In de eerste stap rekenen we: 7 · 8 = 56. We schrijven 6 op en onthouden 5.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Verder: 7 · 2 = 14, daarbij tellen we de 5 van net op: 14 + 5 = 19. We schrijven 9 op en onthouden 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Omdat er niets meer te vermenigvuldigen is, schrijven we de onthouden één erbij:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

We gaan naar de tweede rij. We schrijven een nul op en vermenigvuldigen: 1 · 8 = 8, we schrijven 8 op:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Verder: 1 · 2 = 2, we schrijven 2 op:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

En we gaan naar de derde rij. We schuiven weer een plaats op, dus we schrijven één nul meer op dan daarvoor:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

En we vermenigvuldigen: 6 · 8 = 48, de 8 schrijven we op, de 4 onthouden we.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Verder: 6 · 2 = 12, daarbij tellen we 4 op, dus we krijgen 12 + 4 = 16. De 6 schrijven we op, de 1 onthouden we.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Omdat er niets meer te vermenigvuldigen is, schrijven we de onthouden één erbij:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

En nu tellen we alle drie de getallen onder de streep op:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$