Înmulțirea în scris

Cum să înmulțești două numere doar cu creionul și hârtia.

Algoritmul înmulțirii în scris

Începem cu un exemplu ușor, un exemplu mai complex se află la sfârșitul articolului. La început presupunem că avem două numere pe care vrem să le înmulțim. Deocamdată lucrăm doar cu numere naturale. Să zicem că vrem să calculăm produsul 13 · 72. Scriem numerele unul sub altul și tragem o linie sub ele:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Începem prin a înmulți ultima cifră (cea de la unități) a numărului de jos cu toate cifrele numărului de sus. Începem din nou din dreapta, deci mai întâi calculăm 2 · 3 = 6. Rezultatul îl scriem chiar sub cifra 2. Apoi înmulțim cifra 2 cu a doua cifră din dreapta, deci calculăm 2 · 1 = 2. Acest rezultat îl scriem chiar sub 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

În numărul de jos ne deplasăm cu o cifră spre stânga, ajungem la cifra 7 și repetăm procedeul. Pentru că ne-am deplasat cu un ordin (șapte reprezintă zecile, în timp ce doi reprezintă unitățile), trebuie să ne deplasăm cu un ordin și sub linie. În dreapta jos, sub șase, scriem un zero. Apoi continuăm la fel.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Calculăm deci 7 · 3 = 21. Aici apare dificultatea – putem scrie o singură cifră, nu putem scrie 21, care are două cifre. Rezolvăm astfel: împărțim numărul în două cifre: pe cea din dreapta, adică 1, o scriem pe hârtie, iar pe cea din stânga, adică 2, o reținem pentru runda următoare. Deci: 1 scriem, 2 reținem. Cifra 1 o scriem imediat lângă zero.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Apoi înmulțim cifra 7 cu cifra 1 din numărul de sus: 7 · 1 = 7. Acum vine rândul cifrei 2, pe care am reținut-o: o adunăm la acest rezultat: 7 + 2 = 9. Scriem acest număr în stânga cifrei 1 de pe rândul de jos:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Rămâne ultimul pas: adunăm numerele de sub linie.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Obținem numărul 936, care este exact produsul 13 · 72.

De ce funcționează

Înmulțirea o putem descompune în produse și sume mai simple astfel: putem scrie că 13 · 72 este același lucru cu 13 · 2 + 13 · 70. Poți vedea aici scoaterea factorului comun, dar este suficient simțul comun: dacă adun de șaptezeci și două de ori numărul treisprezece, este la fel ca și cum aș aduna de șaptezeci de ori numărul treisprezece și apoi aș mai adăuga de două ori treisprezece.

Procedeul descris nu creează altceva decât aceste produse succesive. Dacă observi, sub linie am obținut numerele 26 și 910. Iar 26 = 2 · 13 și 910 = 70 · 13.

Pentru ca totul să se potrivească, a trebuit să scriem pe al doilea rând un zero – pentru că de fapt calculam 7 · 13. Ca să obținem din acesta produsul 70 · 13, trebuie să mai adăugăm la rezultat un zero.

Un exemplu mai complicat

Calculează: 28 · 617. Mai întâi scriem numerele unul sub altul:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

În primul pas calculăm: 7 · 8 = 56. Scriem 6 și reținem 5.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Apoi: 7 · 2 = 14, adunăm 5 reținut: 14 + 5 = 19. Scriem 9 și reținem 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Deoarece nu mai avem ce înmulți, scriem cifra 1 reținută:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Trecem la al doilea rând. Scriem un zero și înmulțim: 1 · 8 = 8, scriem 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Apoi: 1 · 2 = 2, scriem 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Și trecem la al treilea rând. Ne deplasăm cu încă un ordin, deci scriem cu un zero mai mult decât înainte:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Și înmulțim: 6 · 8 = 48, scriem 8 și reținem 4.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Apoi: 6 · 2 = 12, adunăm 4 reținut, deci obținem 12 + 4 = 16. Scriem 6 și reținem 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Deoarece nu mai avem ce înmulți, scriem cifra 1 reținută:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Iar acum adunăm toate cele trei numere de sub linie:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$

Surse și trimiteri

• Alte moduri de a înmulți pe hârtie – sau cum înmulțeau vechii egipteni?
• Cum înmulțesc calculatoarele