Fonksiyonların Bileşkesi

Tek bir fonksiyon pek bir şey yapamaz. Bu yüzden fonksiyonları birleştirebilir, yani bileşkelerini alabiliriz.

Motivasyon

İki fonksiyonumuz olsun. Örneğin biri, bir litre benzinle gidilen kilometre sayısını hesaplayan fonksiyon. Diyelim ki arabamız bir litre benzinle 10 kilometre gidiyor. Bu fonksiyona f diyelim ve f(x) = 10x olarak tanımlayalım; burada x parametresi, kaç litre benzinimiz olduğunu gösterir. Yani depoda altı litre benzin varsa, araba daha f(6) = 10 · 6 = 60 kilometre gidebilir.

İkinci fonksiyon, verilen miktarda parayla kaç litre benzin alacağımızı hesaplayabilir. Diyelim ki bir litre benzin 30 TL. O zaman bu fonksiyon, ona g diyelim, şöyle olur: g(x) = x / 30; burada x, ne kadar liralık benzin almak istediğimizi gösterir. 150 TL’miz varsa, g(150) = 150 / 30 = 5 litre benzin alırız.

Şimdi şunu sorabiliriz: 750 TL’lik benzin alırsak daha kaç kilometre gidebiliriz?

Elimizde her biri tek bir şeyi hesaplayan fonksiyonlar var — litreye göre gidilen kilometre sayısı ve paraya göre alınan benzin litresi. Şimdi bu iki fonksiyonun bileşkesini almamız gerekiyor.

Nasıl Çözülür

Bunu, önce kaç litre benzin alacağımızı, sonra kaç kilometre gidebileceğimizi hesaplayarak çözebiliriz. Deneyelim. 750 TL’ye g(750) = 750 / 30 = 25 litre benzin alırız. 25 litre benzinle de f(25) = 10 · 25 = 250 kilometre gideriz.

Ama bunu başka türlü de, fonksiyonların bileşkesiyle çözebiliriz. Girişte para miktarını alıp çıkışta gidilen kilometre sayısını döndüren yeni bir h fonksiyonu tanımlayabiliriz. h fonksiyonunu f ve g fonksiyonlarıyla şöyle tanımlarız:

$$h(x)=f(g(x))$$

Bu şekilde tanımlanan h fonksiyonu aslında ilk paragrafta hesapladığımız şeyi yapar. Bize şunu söyler: x değerini, yani para miktarını aldığımızda, önce g(x) değerini, yani bu parayla alacağımız litre sayısını hesaplamamız gerekir. Elde ettiğimiz g(x) değerini, bizim örneğimizde g(750) = 25 değerini, bir de f fonksiyonuna koymamız gerekir; böylece bir de f(25) = 250 hesaplarız.

h fonksiyonunun doğrudan yazılışını da elde edebiliriz. f fonksiyonunu alır, x parametresinin geçtiği tüm yerlere g fonksiyonunu yazarız. f fonksiyonu şöyleydi: f(x) = 10x ve biz x parametresi yerine x / 30 fonksiyonunu yazıyoruz. Böylece h fonksiyonunu elde ederiz:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{30}\right)$$

Sadeleştirelim:

$$h(x)=\frac{x}{3}$$

Şimdi f ve g fonksiyonlarını birleştirip, x liralık benzinle kaç kilometre gidebileceğimizi hesaplayan yeni bir h fonksiyonu elde ettik. Bildiğimiz 750 TL’yi fonksiyona koyarak bunu doğrulayabiliriz:

$$h(750)=\frac{750}{3}=250.$$

Sonuç, önceki hesabımızla uyuşuyor.

Daha Karmaşık Fonksiyonların Bileşkesi

f ve g fonksiyonları şöyle tanımlanmış olsun:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Şimdi fonksiyonları şöyle birleştirmeyi deneyelim: f(g(x)). f fonksiyonunu alıp x parametresinin geçtiği tüm yerlere, tercihen parantez içinde, g fonksiyonunu yazarız:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Fonksiyonları ters sırayla birleştirseydik şunu elde ederdik:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Fonksiyonların bileşkesi için küçük yuvarlak sembolü kullanılır: f ∘ g. Sorun şu ki bu yazım bazen f(g(x)) yönündeki bileşkeyi, bazen de tam tersine g(f(x)) bileşkesini gösterir. Bu durumda semboller biraz belirsizdir, o yüzden her seferinde ne kastedildiğine bakmanda fayda var.