Composizione di funzioni

Una sola funzione non può fare molto. Per questo le funzioni si possono comporre.

Motivazione

Prendiamo due funzioni. Per esempio una funzione che ci calcola il numero di chilometri percorsi con un litro di benzina. Supponiamo che la nostra auto percorra 10 chilometri con un litro di benzina. Questa funzione la chiamiamo f e la definiamo come f(x) = 10x, dove il parametro x indica quanti litri di benzina abbiamo. Quindi se nel serbatoio abbiamo sei litri di benzina, l’auto può ancora percorrere f(6) = 10 · 6 = 60 chilometri.

La seconda funzione può calcolare quanti litri di benzina compriamo con una data somma di euro. Supponiamo che un litro di benzina costi 2 euro. Allora la funzione, che chiamiamo g, sarebbe fatta così: g(x) = x / 2, dove x indica con quanti euro vogliamo comprare la benzina. Se abbiamo 10 euro, compreremmo g(10) = 10 / 2 = 5 litri di benzina.

Ora potremmo chiederci: quanti chilometri possiamo ancora percorrere se compriamo benzina per 50 euro?

Abbiamo già le funzioni che calcolano ciascuna una parte del problema: il numero di chilometri percorsi in funzione dei litri e il numero di litri di benzina comprati in funzione dei soldi. Ora ci servirebbe comporre le due funzioni.

Come risolverlo

Potremmo risolverlo calcolando prima quanti litri di benzina compreremmo e poi quanti chilometri percorreremmo. Proviamo. Con 50 euro compreremmo g(50) = 50 / 2 = 25 litri di benzina. E con 25 litri di benzina percorreremmo f(25) = 10 · 25 = 250 chilometri.

Possiamo però risolverlo anche in un altro modo, componendo le funzioni. Possiamo definire una nuova funzione h, che prende in ingresso la quantità di soldi e in uscita ci restituisce il numero di chilometri percorsi. La funzione h si definisce con le funzioni f e g così:

$$h(x)=f(g(x))$$

La funzione h così definita fa in sostanza quello che abbiamo calcolato nel primo paragrafo. Ci dice che, quando riceviamo il valore x, cioè la quantità di soldi, dobbiamo prima calcolare il valore g(x), che è il numero di litri che compriamo con quei soldi. Questo valore g(x), nel nostro caso g(50) = 25, dobbiamo poi inserirlo nella funzione f, quindi calcoliamo ancora f(25) = 250.

Possiamo ottenere anche la scrittura diretta della funzione h. Prendiamo la funzione f e sostituiamo tutte le occorrenze del parametro x con la funzione g. La funzione f è fatta così: f(x) = 10x e noi al posto del parametro x sostituiamo la funzione x / 2. In questo modo otteniamo la funzione h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Semplifichiamo:

$$h(x)=5x$$

Ora abbiamo composto le funzioni f e g in una nuova funzione h, che ci calcola quanti chilometri percorriamo con benzina per un valore di x euro. Possiamo verificarlo inserendo nella funzione quei cari vecchi 50 euro:

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

Il risultato coincide con il nostro calcolo precedente.

Composizione di funzioni più complicate

Prendiamo le funzioni f e g definite così:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Proviamo ora a comporle così: f(g(x)). Prendiamo quindi la funzione f e al posto di tutte le occorrenze del parametro x inseriamo, meglio se tra parentesi, la funzione g:

$$f(g(x))=\mathrm{sen}(\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Se componessimo le funzioni al contrario, otterremmo:

$$g(f(x))=\frac{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)+1}{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Per la composizione di funzioni si usa il simbolo del cerchietto: f ∘ g. Il guaio è che a volte questa scrittura indica la composizione nel verso f(g(x)) e a volte, altrove, quella g(f(x)). La simbologia in questo caso è un po’ ambigua, quindi controlla sempre che cosa si intende di volta in volta.