Functies samenstellen

Eén functie kan niet zo veel. Daarom kunnen functies worden samengesteld.

Motivatie

Neem twee functies. Bijvoorbeeld een functie die voor ons het aantal gereden kilometers op één liter benzine uitrekent. Stel dat onze auto 10 kilometer rijdt op één liter benzine. Deze functie noemen we f en we definiëren haar als f(x) = 10x, waarbij de parameter x aangeeft hoeveel liter benzine we hebben. Als we dus zes liter benzine in de tank hebben, kan de auto nog f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer rijden.

De tweede functie kan voor ons uitrekenen hoeveel liter benzine we kopen voor een bepaald aantal euro. Stel dat een liter benzine € 2 kost. Dan zou de functie, die we g noemen, er zo uitzien: g(x) = x / 2, waarbij x aangeeft voor hoeveel euro we benzine willen kopen. Als we € 10 hebben, kopen we g(10) = 10 / 2 = 5 liter benzine.

Nu zouden we ons kunnen afvragen hoeveel kilometer we nog kunnen rijden als we voor € 50 benzine kopen.

We hebben al functies die telkens een deelvraag berekenen — het aantal gereden kilometers in afhankelijkheid van de liters en het aantal gekochte liters benzine in afhankelijkheid van het geld. Nu moeten we beide functies samenstellen.

Hoe lossen we dit op

We zouden het kunnen oplossen door eerst uit te rekenen hoeveel liter benzine we zouden kopen en daarna hoeveel kilometer we zouden rijden. We proberen het. Voor € 50 zouden we g(50) = 50 / 2 = 25 liter benzine kopen. En met 25 liter benzine zouden we f(25) = 10 · 25 = 250 kilometer rijden.

We kunnen het ook anders oplossen, door functies samen te stellen. We kunnen een nieuwe functie h definiëren, die als invoer een bedrag neemt en als uitvoer het aantal gereden kilometers teruggeeft. De functie h definiëren we met behulp van de functies f en g als volgt:

$$h(x)=f(g(x))$$

De zo gedefinieerde functie h doet eigenlijk wat we in de eerste alinea hebben berekend. Ze vertelt ons dat we, als we een waarde x krijgen, dus een bedrag, eerst de waarde g(x) moeten uitrekenen, het aantal liters dat we ervoor kopen. Deze uitkomst g(x), in ons geval dus g(50) = 25, moeten we vervolgens in de functie f stoppen, dus we berekenen nog f(25) = 250.

We kunnen ook direct een voorschrift voor de functie h krijgen. We nemen de functie f en vervangen alle voorkomens van de parameter x door de functie g. De functie f ziet er zo uit: f(x) = 10x en voor de parameter x vullen we de functie x / 2 in. Zo krijgen we de functie h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

We vereenvoudigen:

$$h(x)=5x$$

Nu hebben we de functies f en g samengesteld tot de nieuwe functie h, die voor ons uitrekent hoeveel kilometer we kunnen rijden voor benzine ter waarde van x euro. We kunnen dat controleren door die goeie ouwe € 50 in de functie te stoppen:

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

De uitkomst klopt met onze vorige berekening.

Ingewikkeldere functies samenstellen

Neem de functies f en g, die als volgt zijn gedefinieerd:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

We proberen nu de functies samen te stellen als f(g(x)). We nemen dus de functie f en plaatsen in plaats van alle voorkomens van de parameter x, het liefst tussen haakjes, de functie g:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Als we de functies andersom zouden samenstellen, zouden we krijgen:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Voor het samenstellen van functies gebruiken we het symbool van een rondje: f ∘ g. Het probleem is dat deze notatie soms de samenstelling in de richting f(g(x)) aanduidt en soms juist g(f(x)). De symboliek is hier dus enigszins dubbelzinnig, dus kijk altijd even hoe het bedoeld is.