Függvények összetétele

Egyetlen függvény nem sokra képes. Ezért lehetővé tették, hogy a függvényeket össze lehessen tenni.

Motiváció

Adott két függvény. Például az egyik kiszámolja, hány kilométert tudunk megtenni egy liter benzinnel. Tegyük fel, hogy az autónk egy liter benzinnel 10 kilométert tesz meg. Ezt a függvényt f-fel jelöljük, és így határozzuk meg: f(x) = 10x, ahol az x paraméter azt mutatja, hány liter benzinünk van. Ha tehát hat liter benzin van a tankban, az autó még f(6) = 10 · 6 = 60 kilométert megtesz.

A második függvény kiszámolhatja, hány liter benzint vehetünk adott számú forintért. Tegyük fel, hogy egy liter benzin 600 forintba kerül. Ekkor a függvény – jelöljük g-vel – így nézne ki: g(x) = x / 600, ahol az x azt jelenti, hány forintért akarunk benzint venni. Ha 3000 forintunk van, akkor g(3000) = 3000 / 600 = 5 liter benzint vennénk.

Most feltehetnénk a kérdést: hány kilométert tudunk még megtenni, ha 15 000 forintért tankolunk?

Már vannak függvényeink, amelyek mindig egy-egy részt számolnak ki – a megtett kilométerek számát a literek függvényében, és a vásárolt benzin literszámát a pénz függvényében. Most mindkét függvényt össze kellene tennünk.

Hogyan oldjuk meg

Megoldhatnánk úgy, hogy először kiszámoljuk, hány liter benzint vennénk, utána pedig azt, hány kilométert tennénk meg. Próbáljuk ki. 15 000 forintért g(15 000) = 15 000 / 600 = 25 liter benzint vennénk. A 25 liter benzinnel pedig f(25) = 10 · 25 = 250 kilométert tennénk meg.

Megoldhatjuk viszont másképp is, a függvények összetételével. Meghatározhatunk egy új h függvényt, amely bemenetként a pénz mennyiségét veszi, kimenetként pedig a megtett kilométerek számát adja vissza. A h függvényt az f és a g függvénnyel így határozzuk meg:

$$h(x)=f(g(x))$$

Az így meghatározott h függvény tulajdonképpen azt csinálja, amit az első bekezdésben kiszámoltunk. Azt mondja, hogy ha kapunk egy x értéket, vagyis a pénz mennyiségét, akkor először ki kell számolnunk a g(x) értéket, ami a belőle vásárolt benzin literszáma. Ezt a kapott g(x) értéket, a mi esetünkben tehát g(15 000) = 25 értéket még be kell tennünk az f függvénybe, vagyis kiszámoljuk még az f(25) = 250 értéket.

A h függvény közvetlen felírását is megkaphatjuk. Vesszük az f függvényt, és a paraméter, az x minden előfordulását a g függvénnyel helyettesítjük. Az f függvény így néz ki: f(x) = 10x, és az x paraméter helyére behelyettesítjük az x / 600 függvényt. Így megkapjuk a h függvényt:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{600}\right)$$

Egyszerűsítünk:

$$h(x)=\frac{x}{60}$$

Most összetettük az f és a g függvényt egy új h függvénnyé, amely kiszámolja, hány kilométert tudunk megtenni x forint értékű benzinnel. Ellenőrizhetjük, ha a függvénybe beírjuk azt a régi jó 15 000 forintot:

$$h(15000)=\frac{15000}{60}=250.$$

Az eredmény megegyezik az előző számításunkkal.

Bonyolultabb függvények összetétele

Legyen az f és a g függvény a következő:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Próbáljuk meg most így összetenni a függvényeket: f(g(x)). Vesszük tehát az f függvényt, és az x paraméter minden előfordulása helyére beírjuk – inkább zárójelben – a g függvényt:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Ha fordítva tennénk össze a függvényeket, ezt kapnánk:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

A függvények összetételére a körjelet használjuk: f ∘ g. A baj az, hogy ez a jelölés néha az f(g(x)) irányú összetételt jelenti, máskor pedig a g(f(x)) irányút. A jelölés ebben az esetben kissé félreérthető, ezért mindig nézd meg inkább, hogyan értik éppen.