Çift ve Tek Fonksiyonlar

Fonksiyonlarda tek–çift olma durumunu belirleyebiliriz, yani fonksiyonun çift mi tek mi olduğunu söyleyebiliriz. Uç bir durumda fonksiyon hem çift hem tek olabilir, ama çoğunlukla ne çift ne de tek olur.

Çift Fonksiyon

Bir fonksiyon basit bir kuralı sağlıyorsa çifttir — fonksiyona x elemanını, ardından x’in toplamaya göre tersi olan −x elemanını verdiğinde fonksiyon aynı sonucu döndürmelidir. Tipik bir çift fonksiyon f(x) = x² fonksiyonudur. Onu 6 ve −6 argümanlarıyla çağırırsan şunu elde edersin: f(6) = 36 ve f(−6) = 36. Argümanların yalnızca işaretleri farklıydı, bu yüzden sonuç aynıdır.

Resmî tanım şöyle olabilir. f fonksiyonunun tanım kümesi A olsun. f çift fonksiyon ise şunu sağlamalıdır:

$$\mathrm{\forall }x\in A:f(x)=f(-x)$$

Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm x değerleri için, fonksiyonu −x argümanıyla çağırsak da fonksiyon değerleri eşit olmalıdır.

Çift fonksiyon grafikte nasıl görünür? Fonksiyona x ve −x verirsek aynı y değerini elde ederiz. Düşünürsek: x ve −x noktaları x ekseninde başlangıç noktasına aynı uzaklıktadır ve aynı y koordinatına (ordinat) sahiptir. Bu, çift fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetrik olduğu anlamına gelir. Örnek olarak x² fonksiyonunun grafiği:

Klasik fonksiyonlardan çift olanlar şunlardır: kosinüs ve a çift sayı olmak üzere f(x) = x^a biçimindeki fonksiyonlar. Tek olan bir fonksiyondan çift bir fonksiyon elde etmemizi ise mutlak değer sağlar; örneğin f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Tek Fonksiyon

Tek fonksiyon da çift fonksiyona benzer kuralları sağlamalıdır. Yani f fonksiyonu şu kuralı sağlıyorsa tektir:

$$\mathrm{\forall }x\in A:f(-x)=-f(x)$$

Uygulamada bu şu demektir: tek fonksiyonun grafiği (a, b) noktasından geçiyorsa, koordinatları ters işaretli noktadan, yani (−a, −b) noktasından da geçmelidir. Tek fonksiyona örnek f(x) = x³ fonksiyonudur. x yerine ikiyi yazarsak şunu elde ederiz:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

İkinci ifadede ise şunu elde ederiz

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Bu grafikte nasıl görünür? Fonksiyonun grafiği hem (a, b) hem de (−a, −b) noktasından geçmeli. Çizersen, böyle bir grafiğin koordinat sisteminin başlangıcına, yani (0, 0) noktasına göre simetrik olduğunu görürsün. f(x) = x³ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Klasik fonksiyonlardan tek olanlar şunlardır: a tek sayı olmak üzere f(x) = x^a ve a herhangi bir gerçek sayı olmak üzere f(x) = ax (yani sabit terimi olmayan bir doğrusal fonksiyon). Ayrıca f(x) = a/x ve sinüs de tektir.

Çift Olmanın Kontrolü

Bir fonksiyonun çift olup olmadığını nasıl kontrol ederiz? Tanıma göre yapmalıyız. Örneğin bildiğimiz f(x) = x² fonksiyonunu tanıma göre kontrol edelim. Tanım bize f(x) = f(−x) olduğunu söylüyor. Fonksiyon çiftse şunu sağlamalıdır:

$$x^2=(-x{)}^2$$

−x’in karesini üslü ifadelerle hesaplama kurallarına göre şöyle yazabiliriz:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Eksi birin karesi birdir, yani yine yalnızca x² elde ederiz.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Aşağıdaki fonksiyon çift mi?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Tanımda yerine yazarız:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Bu kesirleri şöyle yeniden düzenleyebiliriz: mutlak değeri tüm kesre koymak yerine pay ve paydaya taşırız.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

İkinci kesrin paydasını düzenleriz, çünkü mutlak değerin tanımından |x| = |−x| olduğu kesindir.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Artık eşitliği elde ediyoruz.

Tek Olmanın Kontrolü

Bir fonksiyonun tek olup olmadığını nasıl kontrol ederiz? Yine tanıma göre yapmalıyız. Tanım, f fonksiyonunun tek olması için şunu söyler:

$$f(-x)=-f(x)$$

f(x) = x³ fonksiyonuyla başlayalım. Tanımda yerine yazarız:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Sol tarafı bir önceki örnekteki gibi açabiliriz:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Eksi birin üçüncü kuvveti eksi birdir:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Böylece eşitliği elde ederiz:

$$-x^3=-x^3$$

Fonksiyon tektir.

Verilen fonksiyon tek mi?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Tanımda yerine yazarız:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Burada düzenlenecek fazla bir şey yok, ilk kesirdeki eksiyi basitçe tüm kesrin önüne alırız, böylece şu eşitliği elde ederiz:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Fonksiyon tektir.

Ne Çift Ne de Tek

Bir fonksiyonun ne çift ne de tek olması gerekmez. Bu tür fonksiyonlar muhtemelen çoğunluktadır. Örnek olarak f(x) = x + 1 doğrusal fonksiyonunu alalım. Çift olma tanımında yerine yazmayı deneyelim:

$$x+1=-x+1$$

x’i yalnız bırakırız:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Eşitlik tüm x için değil, yalnızca bazıları için geçerlidir, bu yüzden fonksiyon çift değildir. Şimdi tek olmayı deneyelim:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Bu denklemin hiçbir zaman çözümü yoktur, bu yüzden fonksiyon tek de değildir.

Hem Çift Hem Tek

Hem çift hem tek olan bir fonksiyon var mı? Hem y eksenine göre hem de başlangıç noktasına göre simetrik olan bir fonksiyon grafiği var mı? Cevap evet. Hem çift hem tek olan tam olarak bir fonksiyon vardır, o da sabit fonksiyon f(x) = 0’dır. Fonksiyonun grafiği tam olarak x eksenini izler.

Not: aslında bu tür sonsuz sayıda fonksiyon vardır, çünkü aynı kurala sahip ama başka bir tanım kümesinde tanımlı bir g(x) fonksiyonu tanımlayabiliriz. Örneğin g(x) = 0 fonksiyonunun tanım kümesi yalnızca tam sayılar olabilir. Tanım kümesi 0’a göre simetrik olmalıdır, yani x ile birlikte −x’i de içermelidir; örneğin yalnızca pozitif tam sayılarda tanımlı bir fonksiyon çift de tek de olamaz. Bu fonksiyon, gerçek sayılar üzerinde tanımlı f(x) fonksiyonundan farklıdır. Yine de kural her zaman aynı olacaktır.

Fonksiyonlarda Dört İşlem

Çift ya da tek iki fonksiyonumuz olduğunda ve bunları toplamaya, çarpmaya vb. çalıştığımızda ilginç bir durum ortaya çıkar. Örneğin iki çift fonksiyonun toplamı yine çift bir fonksiyon çıkar. Kuralların ve kombinasyonların sayısı çoktur.