Σύνθεση συναρτήσεων

Μία συνάρτηση δεν μπορεί να κάνει πολλά. Γι' αυτό επιτρέπεται οι συναρτήσεις να συντίθενται.

Κίνητρο

Έστω δύο συναρτήσεις. Για παράδειγμα μια συνάρτηση που μας υπολογίζει τον αριθμό των χιλιομέτρων που διανύουμε με ένα λίτρο βενζίνης. Ας πούμε ότι το αυτοκίνητό μας διανύει με ένα λίτρο βενζίνης 10 χιλιόμετρα. Αυτή τη συνάρτηση τη συμβολίζουμε f και την ορίζουμε ως f(x) = 10x, όπου η παράμετρος x δείχνει πόσα λίτρα βενζίνης έχουμε. Αν λοιπόν έχουμε στο ρεζερβουάρ έξι λίτρα βενζίνης, το αυτοκίνητο θα διανύσει ακόμη f(6) = 10 · 6 = 60 χιλιόμετρα.

Η δεύτερη συνάρτηση μπορεί να μας υπολογίζει πόσα λίτρα βενζίνης αγοράζουμε με ένα δοσμένο ποσό ευρώ. Ας πούμε ότι το λίτρο βενζίνης κοστίζει 2 ευρώ. Τότε η συνάρτηση, που τη συμβολίζουμε g, θα ήταν ως εξής: g(x) = x / 2, όπου x δείχνει με πόσα ευρώ θέλουμε να αγοράσουμε βενζίνη. Αν έχουμε 10 ευρώ, θα αγοράζαμε g(10) = 10 / 2 = 5 λίτρα βενζίνης.

Τώρα θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε πόσα χιλιόμετρα θα διανύσουμε ακόμη, αν αγοράσουμε βενζίνη αξίας 50 ευρώ;

Έχουμε ήδη συναρτήσεις που υπολογίζουν κάθε φορά ένα μερικό πράγμα – τον αριθμό των χιλιομέτρων που διανύονται ανάλογα με τα λίτρα και τον αριθμό των λίτρων βενζίνης που αγοράστηκαν ανάλογα με τα χρήματα. Τώρα θα χρειαζόμασταν να συνθέσουμε και τις δύο συναρτήσεις.

Πώς να το λύσουμε

Θα μπορούσαμε να το λύσουμε υπολογίζοντας πρώτα πόσα λίτρα βενζίνης θα αγοράζαμε και μετά πόσα χιλιόμετρα θα διανύαμε. Ας το δοκιμάσουμε. Με 50 ευρώ θα αγοράζαμε g(50) = 50 / 2 = 25 λίτρα βενζίνης. Και με 25 λίτρα βενζίνης θα διανύαμε f(25) = 10 · 25 = 250 χιλιόμετρα.

Μπορούμε όμως να το λύσουμε και αλλιώς, με σύνθεση συναρτήσεων. Μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση h, που θα παίρνει στην είσοδο το ποσό των χρημάτων και στην έξοδο θα μας επιστρέφει τον αριθμό των χιλιομέτρων που διανύονται. Τη συνάρτηση h την ορίζουμε με τις συναρτήσεις f και g ως εξής:

$$h(x)=f(g(x))$$

Η συνάρτηση h που ορίστηκε έτσι κάνει στην ουσία αυτό που υπολογίσαμε στην πρώτη παράγραφο. Μας λέει ότι όταν πάρουμε την τιμή x, δηλαδή το ποσό των χρημάτων, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την τιμή g(x), που είναι ο αριθμός των λίτρων που αγοράζουμε με αυτά. Αυτή την τιμή που προέκυψε g(x), στην περίπτωσή μας δηλαδή g(50) = 25, πρέπει στη συνέχεια να τη βάλουμε στη συνάρτηση f, οπότε υπολογίζουμε ακόμη f(25) = 250.

Μπορούμε να πάρουμε και απευθείας γραφή της συνάρτησης h. Παίρνουμε τη συνάρτηση f και όλες τις εμφανίσεις της παραμέτρου x τις αντικαθιστούμε με τη συνάρτηση g. Η συνάρτηση f είναι έτσι: f(x) = 10x και εμείς στην παράμετρο x αντικαθιστούμε τη συνάρτηση x / 2. Έτσι παίρνουμε τη συνάρτηση h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Απλοποιούμε:

$$h(x)=5x$$

Τώρα συνθέσαμε τις συναρτήσεις f και g στη νέα συνάρτηση h, που μας υπολογίζει πόσα χιλιόμετρα θα διανύσουμε με βενζίνη αξίας x ευρώ. Μπορούμε να το επαληθεύσουμε, αν βάλουμε στη συνάρτηση τα παλιά καλά 50 ευρώ:

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

Το αποτέλεσμα συμφωνεί με τον προηγούμενο υπολογισμό μας.

Σύνθεση πιο σύνθετων συναρτήσεων

Έστω οι συναρτήσεις f και g που ορίζονται ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Θα προσπαθήσουμε τώρα να συνθέσουμε τις συναρτήσεις ως εξής: f(g(x)). Παίρνουμε λοιπόν τη συνάρτηση f και στη θέση όλων των εμφανίσεων της παραμέτρου x βάζουμε, κατά προτίμηση σε παρένθεση, τη συνάρτηση g:

$$f(g(x))=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Αν συνθέταμε τις συναρτήσεις αντίστροφα, θα παίρναμε:

$$g(f(x))=\frac{(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)\cdot x^2-4)+1}{(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Για τη σύνθεση συναρτήσεων χρησιμοποιείται το σύμβολο του μικρού κύκλου: f ∘ g. Το πρόβλημα είναι ότι μερικές φορές αυτή η γραφή σημαίνει σύνθεση με κατεύθυνση f(g(x)) και άλλες φορές g(f(x)). Η σημειογραφία εδώ είναι λίγο διφορούμενη, γι' αυτό καλύτερα να κοιτάς πάντα πώς εννοείται κάθε φορά.