Composição de funções

Uma função sozinha não consegue muita coisa. Por isso é possível compor funções.

Motivação

Considere duas funções. Por exemplo, uma função que calcula a distância percorrida com um litro de gasolina. Digamos que o nosso carro percorre 10 quilômetros com um litro de gasolina. Vamos chamar essa função de f e defini-la como f(x) = 10x, em que o parâmetro x indica quantos litros de gasolina temos. Assim, se temos seis litros de gasolina no tanque, o carro ainda percorre f(6) = 10 · 6 = 60 quilômetros.

A segunda função pode calcular quantos litros de gasolina compramos com certa quantia em reais. Digamos que o litro de gasolina custa R$ 6,00. Então a função, que vamos chamar de g, seria assim: g(x) = x / 6, em que x indica quantos reais queremos gastar na gasolina. Se temos R$ 60,00, compraríamos g(60) = 60 / 6 = 10 litros de gasolina.

Agora poderíamos perguntar: quantos quilômetros ainda vamos percorrer se comprarmos R$ 300,00 de gasolina?

Já temos funções que calculam cada uma uma parte do problema — a distância percorrida em função dos litros e o número de litros comprados em função do dinheiro. Agora precisaríamos compor as duas funções.

Como resolver

Poderíamos resolver calculando primeiro quantos litros de gasolina compraríamos e depois quantos quilômetros percorreríamos. Vamos tentar. Com R$ 300,00 compraríamos g(300) = 300 / 6 = 50 litros de gasolina. E com 50 litros de gasolina percorreríamos f(50) = 10 · 50 = 500 quilômetros.

Mas podemos resolver também de outro jeito, compondo funções. Podemos definir uma nova função h, que recebe na entrada a quantia de dinheiro e devolve na saída a distância percorrida. A função h é definida por meio das funções f e g assim:

$$h(x)=f(g(x))$$

A função h assim definida faz, na verdade, o que calculamos no primeiro parágrafo. Ela nos diz que, quando recebemos um valor x, isto é, a quantia de dinheiro, devemos primeiro calcular o valor g(x), que é o número de litros que compramos com ela. Esse valor g(x), no nosso caso g(300) = 50, ainda precisamos colocar na função f, e então calculamos f(50) = 500.

Podemos obter também a escrita direta da função h. Pegamos a função f e substituímos todas as ocorrências do parâmetro x pela função g. A função f é assim: f(x) = 10x e, no lugar do parâmetro x, colocamos a função x / 6. Assim obtemos a função h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{6}\right)$$

Simplificamos:

$$h(x)=\frac{5x}{3}$$

Agora compusemos as funções f e g na nova função h, que calcula quantos quilômetros percorremos com gasolina no valor de x reais. Podemos conferir colocando na função aqueles velhos e bons 300 reais:

$$h(300)=\frac{5\cdot 300}{3}=500.$$

O resultado coincide com o nosso cálculo anterior.

Composição de funções mais complicadas

Sejam as funções f e g definidas assim:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Vamos tentar agora compor as funções assim: f(g(x)). Pegamos a função f e, no lugar de todas as ocorrências do parâmetro x, colocamos, de preferência entre parênteses, a função g:

$$f(g(x))=\mathrm{sen}(\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Se compuséssemos as funções no sentido contrário, obteríamos:

$$g(f(x))=\frac{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)+1}{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Para a composição de funções usa-se o símbolo da bolinha: f ∘ g. O problema é que às vezes essa escrita indica a composição no sentido f(g(x)) e às vezes, ao contrário, g(f(x)). A simbologia, nesse caso, é um pouco ambígua, então confira sempre o que se quer dizer em cada situação.