Sammensetning av funksjoner

Én funksjon alene får ikke gjort så mye. Derfor kan funksjoner settes sammen.

Motivasjon

La oss ha to funksjoner. Den ene regner ut antall kilometer vi kjører på én liter bensin. La oss si at bilen vår kjører 10 kilometer på literen. Vi kaller funksjonen f og definerer den som f(x) = 10x, der parameteren x er antall liter bensin vi har. Hvis vi har seks liter bensin på tanken, kjører bilen f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer til.

Den andre funksjonen kan regne ut hvor mange liter bensin vi kjøper for et gitt antall kroner. La oss si at en liter bensin koster 20 kr. Da ser funksjonen, som vi kaller g, slik ut: g(x) = x / 20, der x er hvor mye vi vil kjøpe bensin for, i kroner. Hvis vi har 100 kr, kjøper vi g(100) = 100 / 20 = 5 liter bensin.

Nå kan vi spørre: hvor mange kilometer kjører vi til hvis vi kjøper bensin for 500 kr?

Vi har allerede funksjoner som hver regner ut sin del: antall kjørte kilometer avhengig av antall liter, og antall kjøpte liter bensin avhengig av pengene. Nå trenger vi å sette de to funksjonene sammen.

Hvordan løser vi det

Vi kunne løst det ved først å regne ut hvor mange liter bensin vi kjøper, og så hvor mange kilometer vi kjører. Vi prøver. For 500 kr kjøper vi g(500) = 500 / 20 = 25 liter bensin. Og på 25 liter bensin kjører vi f(25) = 10 · 25 = 250 kilometer.

Men vi kan også løse det på en annen måte, ved å sette sammen funksjonene. Vi kan definere en ny funksjon h som tar antall kroner som input og gir antall kjørte kilometer som output. Funksjonen h definerer vi ved hjelp av funksjonene f og g slik:

$$h(x)=f(g(x))$$

Funksjonen h definert på denne måten gjør egentlig det vi regnet ut i det første avsnittet. Den sier at når vi får verdien x, altså antall kroner, skal vi først regne ut verdien g(x), som er antall liter vi kjøper for dem. Denne verdien g(x), i vårt tilfelle g(500) = 25, skal vi så sette inn i funksjonen f, så vi regner ut f(25) = 250.

Vi kan også finne et direkte uttrykk for funksjonen h. Vi tar funksjonen f og bytter ut alle forekomster av parameteren x med funksjonen g. Funksjonen f ser slik ut: f(x) = 10x, og for parameteren x setter vi inn funksjonen x / 20. Da får vi funksjonen h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{20}\right)$$

Vi forkorter:

$$h(x)=\frac{x}{2}$$

Nå har vi satt sammen funksjonene f og g til den nye funksjonen h, som regner ut hvor mange kilometer vi kjører for bensin til x kroner. Vi kan kontrollere det ved å sette inn de gode gamle 500 kr:

$$h(500)=\frac{500}{2}=250.$$

Resultatet stemmer med utregningen vår fra før.

Sammensetning av mer kompliserte funksjoner

La oss ha funksjonene f og g definert slik:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Nå setter vi funksjonene sammen slik: f(g(x)). Vi tar funksjonen f og setter inn funksjonen g i stedet for alle forekomster av parameteren x, helst i parentes:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Hvis vi satte funksjonene sammen motsatt vei, ville vi fått:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

For sammensetning av funksjoner brukes en liten ring som symbol: f ∘ g. Problemet er at denne skrivemåten av og til betyr sammensetning i retningen f(g(x)), og av og til i retningen g(f(x)). Symbolbruken er litt tvetydig her, så sjekk alltid hva som menes.