Sammansättning av funktioner

En enda funktion räcker inte långt. Därför kan funktioner sättas ihop.

Motivation

Vi har två funktioner. Den ena räknar ut hur många kilometer vi kör på en liter bensin. Säg att vår bil kör 10 kilometer på en liter bensin. Funktionen kallar vi f och definierar den som f(x) = 10x, där parametern x anger hur många liter bensin vi har. Om vi har sex liter bensin i tanken kan bilen alltså köra f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer till.

Den andra funktionen kan räkna ut hur många liter bensin vi köper för ett visst antal kronor. Säg att en liter bensin kostar 20 kronor. Då skulle funktionen, som vi kallar g, se ut så här: g(x) = x / 20, där x anger hur många kronor vi vill köpa bensin för. Om vi har 100 kronor köper vi g(100) = 100 / 20 = 5 liter bensin.

Nu kan vi fråga oss hur många kilometer vi kan köra om vi köper bensin för 600 kronor.

Vi har redan funktioner som var och en räknar ut en del av problemet: antalet körda kilometer beroende på liter och antalet köpta liter bensin beroende på pengar. Nu behöver vi sätta ihop de två funktionerna.

Hur vi löser det

Vi skulle kunna lösa det genom att först räkna ut hur många liter bensin vi skulle köpa och sedan hur många kilometer vi skulle köra. Vi provar. För 600 kronor skulle vi köpa g(600) = 600 / 20 = 30 liter bensin. Och på 30 liter bensin skulle vi köra f(30) = 10 · 30 = 300 kilometer.

Men vi kan också lösa det på ett annat sätt, genom att sätta ihop funktioner. Vi kan definiera en ny funktion h som tar antalet kronor som indata och returnerar antalet körda kilometer. Funktionen h definierar vi med hjälp av funktionerna f och g så här:

$$h(x)=f(g(x))$$

Den så definierade funktionen h gör i själva verket det vi räknade ut i första stycket. Den säger att när vi får ett värde x, alltså ett antal kronor, ska vi först beräkna värdet g(x), som är antalet liter vi köper för pengarna. Det värdet g(x), i vårt fall g(600) = 30, ska vi sedan sätta in i funktionen f, och beräknar alltså också f(30) = 300.

Vi kan också få fram funktionen h direkt. Vi tar funktionen f och byter ut alla förekomster av parametern x mot funktionen g. Funktionen f ser ut så här: f(x) = 10x, och för parametern x sätter vi in funktionen x / 20. På så sätt får vi funktionen h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{20}\right)$$

Vi förenklar och förkortar:

$$h(x)=\frac{x}{2}$$

Nu har vi satt ihop funktionerna f och g till den nya funktionen h, som räknar ut hur många kilometer vi kör för bensin för x kronor. Vi kan kontrollera det genom att sätta in de där goda gamla 600 kronorna:

$$h(600)=\frac{600}{2}=300.$$

Resultatet stämmer med vår tidigare beräkning.

Att sätta ihop mer komplicerade funktioner

Vi har funktionerna f och g definierade så här:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Nu provar vi att sätta ihop funktionerna så här: f(g(x)). Vi tar funktionen f och sätter in funktionen g, helst inom parentes, i stället för alla förekomster av parametern x:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Om vi hade satt ihop funktionerna åt andra hållet hade vi fått:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

För sammansättning av funktioner används en ring som symbol: f ∘ g. Problemet är att det här skrivsättet ibland betyder sammansättning i riktningen f(g(x)) och ibland i stället g(f(x)). Symboliken är alltså lite tvetydig, så kontrollera alltid hur det är menat.