Fonksiyonun Tanım Kümesi

Fonksiyonun tanım kümesi, f(x) fonksiyonunda x değişkeni yerine yazabildiğimiz ve fonksiyonun anlamlı kalmasını sağlayan tüm kabul edilebilir değerlerdir.

Fonksiyonun Tanım Kümesi Nedir

Basit bir örnek f(x) = 1/x fonksiyonudur. Tanım kümesi, 1/x fonksiyonunda yerine yazdığımızda geçerli bir ifade elde ettiğimiz tüm kabul edilebilir değerlerin kümesidir.

“Geçerli ifade”nin ne olduğunu bilmek için fonksiyonların ve işlemlerin özelliklerini bilmemiz gerekir. Fonksiyonumuzda x değişkenine bölüyoruz, yani x kesrin paydasında. Hangi sayılara bölebiliriz? Sıfır dışındaki hepsine. Sıfıra bölemeyiz, aynı şekilde sıfır kesrin paydasında da olamaz. Bölmenin başka bir kısıtı yoktur.

Bu yüzden x yerine sıfır dışındaki herhangi bir gerçek sayıyı yazabiliriz. Yani tanım kümesi ℝ ∖ {0} kümesidir. Tanım kümesini her zaman “f fonksiyonunun tanım kümesi” diye, hangi fonksiyonun tanım kümesini hesapladığımızı belirterek söyleriz.

Şu an en geniş tanım kümesini hesapladık. Ama tanım kümesini, x yerine yazabildiğimiz değerlerin kümesi olarak tanımladığımız için, tanım kümesinin herhangi bir alt kümesi de yine bir tanım kümesi olur. Bazen fonksiyonu yalnızca bazı x değerleriyle sınırlamak işimize yarar. Örneğin dizilerde yalnızca pozitif tam sayılarla çalışırız, trigonometride ise çoğunlukla yalnızca [0, 2π] aralığıyla hesap yapılır.

Ancak bir soruda fonksiyonun tanım kümesini hesaplaman isteniyorsa, genellikle mümkün olan en geniş tanım kümesini bulman beklenir.

Tanım kümesini fonksiyonun grafiğinden de okuyabiliriz. Örnek olarak önceki fonksiyonun, f(x) = 1/x fonksiyonunun grafiğini alalım.

Grafiğin x eksenine izdüşümünü alırsan tanım kümesini elde edersin. Bir x noktası tanım kümesinin elemanı değilse, bu noktada x eksenine dik bir doğru çizdiğinde bu doğru grafiğin hiçbir noktasını kesmez. Bu koşulu yalnızca sıfır sağlar — sıfırın “üstünde de altında da” fonksiyon grafiğinden hiçbir nokta yoktur. Diğer tüm noktalarda vardır.

Tanım Kümesinin Hesaplanması

Bir bileşke fonksiyonun tanım kümesini hesaplamak için, bileşke fonksiyonun oluştuğu tüm fonksiyonların tanım kümelerini bilmen gerekir. Başka türlü olmaz. Sana f(x) = g(x) + h(x) fonksiyonunun tanım kümesini hesaplamanı söylesem, g ve h fonksiyonlarının nasıl tanımlandığını bilmediğin için başaramazsın. Şimdi bazı temel fonksiyonların tanım kümelerine bakalım:

• Logaritma fonksiyonu: (0, ∞)
• Karekök fonksiyonu: [0, ∞)
• Tanjant: ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ
• Kotanjant: ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ
• Üstel fonksiyon: ℝ
• Doğrusal fonksiyon ve ikinci dereceden fonksiyon: ℝ

Yalnızca tek bir fonksiyon verilmişse iş çok basittir. Fonksiyonun tanım kümesinin ne olduğunu bulur, argümana bakar ve onu uygun bir denklemde ya da eşitsizlikte yerine yazarız. Bir örnek — log(3x + 2) fonksiyonunun tanım kümesini belirle. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır, bu yüzden 3x + 2 > 0 olmalıdır. Bu bir birinci dereceden eşitsizliktir ve kolayca çözeriz:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Tanım kümesi bu eşitsizliği sağlayan tüm x değerlerinden oluşur, yani tanım kümesi (−2/3, ∞) aralığıdır.

$\sqrt{2x+8}$ fonksiyonunun tanım kümesini hesapla.

Karekökün içinde negatif sayı olamaz, bu yüzden 2x + 8 ≥ 0 eşitsizliğini çözeriz ve şu sonucu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Böylece tanım kümesi [−4, ∞) aralığıdır.

1/x² fonksiyonunun tanım kümesini hesapla.

Paydada sıfır olamaz, bu yüzden x² ≠ 0 koşulunu çözeriz. Bu, x ≠ 0 olduğunda sağlanır, yani tanım kümesi ℝ ∖ {0} kümesidir.

Bileşke Fonksiyonları Parçalara Ayırma

Bileşke fonksiyonlarda durum biraz daha karmaşıktır; çünkü birbirini etkileyen ve tanım kümesini adım adım daraltan birden çok fonksiyonu hesaba katmamız gerekir. Örneğin şu fonksiyona bakalım:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Burada iki koşul sağlanmalıdır. Karekökün içindeki ifade sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır, negatif olamaz. Bu yüzden x ≥ 0. Ama karekök kesrin paydasında olduğu için karekökün sıfır çıkmaması da gerekir, yoksa kesrin yine anlamı kalmaz. Bu yüzden önceki koşulu x > 0 olacak şekilde sıkılaştırırız.

Diğer örneklerde de benzer şekilde ilerleriz. Ancak önemli olan, iç içe geçmiş fonksiyonların sırasını belirlemektir — hangi fonksiyonun iç, hangisinin dış fonksiyon olduğunu bulmamız gerekir. Önceki örnekte bu açıktı — iç fonksiyon karekök, dış fonksiyon kesirdi. İfadeyi elle hesaplamak isteseydik, önce x argümanının karekökünü alır, ancak ondan sonra kesri hesaplardık. Bu oldukça iyi bir ipucu — en içteki fonksiyon, elle hesaplasaydın ilk başlayacağın fonksiyondur. Bir örnek daha:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Şimdi tersi bir yaklaşım seçebiliriz. Dış fonksiyonları arayacağız. Dış fonksiyon iç fonksiyonları “sarar”. Burada beşinci dereceden kök, geri kalan tüm fonksiyonları açıkça sarıyor. Ardından üçüncü kuvvet logaritmanın sonucunu sarıyor, logaritma tanjantı sarıyor ve son olarak x değişkenini tanjant sarıyor. Kolay. Elle hesaplama yoluyla da şöyle düşünebiliriz: x değerini bildiğimizde onu önce tanjanta uygularız. Yani en içteki fonksiyon odur. Bu sonucu logaritmaya uygularız — o da en içten ikinci fonksiyondur. Bu sonucu üçüncü kuvvete uygular ve en sonunda kökünü alırız.

Bileşke fonksiyonu parçalarına ayır:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Dış fonksiyondan başlarız. O sinüstür. Sırada kesir, sonra logaritma, sonra üstel fonksiyon (şu değişken değiştirmeyi hayal et: 10^a) ve en sonunda doğrusal fonksiyon 2x + 3 gelir.

Bileşke fonksiyonu parçalarına ayır:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Dış fonksiyon 2^a üstel fonksiyonudur. Sonra kesir, ardından kesrin paydasında karekök ve en sonunda doğrusal fonksiyon 3x gelir.

Bileşke Fonksiyonların Tanım Kümesi

Fonksiyonları dış ve iç fonksiyonlara ayırmayı biliyorsan, tanım kümesini belirlemek artık senin için hiç sorun olmaz. Bunu hemen bir örnekle gösterelim:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Kesirle başlarız. Burada payda sıfırdan farklı olmalıdır. Bunu yazalım:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Sinüs fonksiyonunun özelliklerinden, 1 değerine x = π/2 noktasında ulaştığını biliyoruz. Periyodik bir fonksiyon olduğu için M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ kümesini elde ederiz. Bu, paydanın sıfır çıktığı değerlerin kümesidir. Bu x değerlerini fonksiyonumuzda yerine yazamayız.

Ama hepsi bu değil, sinüs fonksiyonunun tanım kümesine de bakmamız gerekir. O ise neyse ki ℝ’dir, yani bizi hiç kısıtlamaz. Kısıtlamayı yalnızca kesrin paydası getirir. Böylece tanım kümesi ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ kümesidir.