Fonksiyon Nedir

Fonksiyon, matematikte çok temel bir kavramdır ve onu tam olarak anlaman gerekir. Matematik baştan sona fonksiyonlarla örülüdür; ilkokuldan beri tanıdığın pek çok sembol aslında bir fonksiyonu temsil eder.

Fonksiyon Benzetmesi

Hiç kahve makinesi gördün mü? Böyle bir makinenin tipik özelliği nedir? Makineye birkaç madeni para atarsın, makine de sana bir kahve verir. Makineye daha fazla para atarsan, makine daha iyi bir kahveyle karşılık verir.

Fonksiyon, işte böyle bir matematiksel kahve makinesidir. Fonksiyona bir giriş (madeni paralar) verirsin, fonksiyon da bir çıkış (kahve) döndürür. Fonksiyonun temel ilkesi bundan ibarettir.

Fonksiyonun görevi, bir girişi, yani bir sayıyı alıp içeride bu sayıyla bir şey yapmak, onu değiştirmek ve yeni sayıyı çıkış olarak geri vermektir.

Temel Kavramlar

Her fonksiyonun onu belirten bir adı vardır. Fonksiyon için en sık kullanılan ad “f” harfidir. Fonksiyonun nasıl çalışacağını belirleyen bir kurala da ihtiyacımız var — makinenin kahveyi nasıl demleyeceğini söyleyen kurala. Başlangıç için fonksiyonu iki sütunlu bir tablo olarak düşünebiliriz. İlk sütunda girişimiz (makineye atılan paranın değeri), ikinci sütunda fonksiyonun çıkışı (kahve) yer alır.

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{giriş}& \text{çıkış}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Çıkışın her zaman girişin iki katı olduğunu görüyoruz, ama bunun hiç de kural olması gerekmez. Şöyle bir tablomuz da olabilirdi:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{giriş}& \text{çıkış}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Ancak başlangıç için ilk, düzenli tablo yeterli. Bu tablonun f fonksiyonunu tanımladığını söyleyebiliriz. Fonksiyon ne yapar? Biz fonksiyona bir giriş veririz, fonksiyon bu girişi tablonun ilk sütununda arar ve aynı satırdaki çıkışı döndürür. Üç sayısı için fonksiyonun çıkışını arıyorsak, bunu şöyle yazarız:

$$f(3)=6$$

Girişin üç olduğu satırı bulduk ve aynı satırda çıkış altıya eşitti. Ayrıca f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 ve f(5) = 10 olduğunu da söyleyebiliriz. Tüm fonksiyonları tablolarla yazmak birkaç sayı için belki düzenli görünür, ama daha çok sayıyla çalışıyorsak son derece kullanışsızdır. Bu yüzden başka bir yazım biçimine ihtiyacımız var. Fonksiyonu bir kuralla verebiliriz. Tablomuzda çıkış, girişin iki katıydı. Bunu kuralla şöyle yazabiliriz:

$$f(x)=2\cdot x$$

Bu basit bir doğrusal fonksiyon, ama şimdilik bunun önemi yok. Bu ifade bize ne söylüyor? f harfi fonksiyonun adıdır, bunu zaten biliyoruz. Parantez içindeki ifade, yani x harfi, fonksiyonun parametresidir. Makine benzetmesinde bu, “atılan paraların değeri” olurdu. Fonksiyonun parametresi, bizim verdiğimiz değerin saklandığı değişkendir. Makineye (fonksiyona) yirmi lira atsaydık, fonksiyonun içinde x = 20 olurdu. Makine ya da fonksiyon bu değerle kendi bildiği gibi çalışmaya devam eder.

Sonra eşittir işareti gelir ve eşittir işaretinin ardından, verilen x değerine ne yapılacağını belirten kuralın kendisi yer alır. Fonksiyonun aldığı x değerini ikiyle çarptığını görüyoruz. Hepsi bu.

Başka Fonksiyon Örnekleri

Bu sağ tarafta neredeyse her matematiksel ifade bulunabilir. Başka fonksiyonlar da olabilir, tanımı kesinleştiren koşullar da olabilir. Örneğin bir fonksiyonu sözle şöyle tanımlayabiliriz: “giriş çift sayıysa sıfır döndür, giriş tek sayıysa bir döndür”. Bu, yalnızca bir ve sıfır döndüren bir fonksiyon olur, ama yine de fonksiyondur.

Önemli olan, bir fonksiyonu neredeyse istediğimiz gibi tanımlayabileceğimizi anlamaktır. Elbette fonksiyonun da kuralları var, ama şu an o kadar önemli değiller — üstelik kurallardan biri hemen sonraki bölümde geçiyor. Fonksiyon tanımının ilk bakışta bir anlam taşıması, bir düzeninin olması gerekmez. Fonksiyon, girişin yedi olduğu durum dışında her zaman iki katını döndürebilir. O zaman dokuz döndürür. Bu herhalde pek mantıksız, ama bu da bir fonksiyondur.

Matematik dışında yaptığımız işlemlerin büyük bir kısmına da fonksiyon diyebiliriz. Örneğin “mamut” kelimesinin uzunluğunu hesaplarsan, “kelime uzunluğu” adlı bir fonksiyonu çağırdığını ve ona argüman olarak “mamut” kelimesini verdiğini söyleyebiliriz. Fonksiyon kelimedeki harfleri saydı ve çıkış olarak beş sayısını döndürdü.

Bir krediden ya da konut kredisinden ne kadar bileşik faiz ödeyeceğini mi hesaplamak istiyorsun? Bunu da bir fonksiyon halledebilir. Faizin örneğin on yıl sonraki tutarını hesaplayan bir fonksiyon tanımlaman yeterli. Bir arabanın belirli bir miktar benzinle daha kaç kilometre gidebileceğini mi bulmak istiyorsun? Bir fonksiyon tanımla! Araba litre başına ortalama, diyelim ki, 11 kilometre gidiyorsa, daha kaç kilometre gidebileceğimizi hesaplayan fonksiyonu şöyle tanımlayabiliriz:

$$\text{yol}(x)=11\cdot x$$

Elimizde yalnızca 17 litre benzin kalmışsa, mesafeyi fonksiyonu şöyle çağırarak hesaplarız:

$$\text{yol}(17)=11\cdot 17=187$$

Kısacası fonksiyon, bir girişe karşılık bir sayı döndüren her şeydir. Ankara’dan verilen bir şehre kuş uçuşu mesafeyi döndür, verilen bir albümdeki en uzun şarkının uzunluğunu döndür, verilen bir kişinin başındaki saç sayısını döndür, verilen bir hayvanın bacak sayısını döndür vb.

Fonksiyonun Temel Özelliği

Fonksiyon için son derece önemli bir koşul var; tabloya dönersek, girişin yer aldığı ilk sütunda hiçbir değer iki kez tekrarlanmamalıdır. Tablo şöyle görünseydi:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{giriş}& \text{çıkış}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… fonksiyona 1 sayısını verirsek, fonksiyonun ne döndürmesi gerektiğini söyleyemezdik:

$$f(1)=?$$

Fonksiyon açık biçimde tanımlı olmalıdır; aynı giriş için iki farklı sonuç döndürmesi söz konusu olamaz. Bu mümkün değildir. Fonksiyondan, aynı girişle her zaman aynı çıkışı döndürmesini isteriz. Dikkat et, bu koşul ikinci sütun, yani çıkış için geçerli değildir. Çıkışlar rahatlıkla aynı olabilir, bunun bir sakıncası yok. Şu tablo geçerli olurdu:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{giriş}& \text{çıkış}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Fonksiyon Değerinin Hesaplanması

Fonksiyonun hangi parçasının ne adı taşıdığını ve bir fonksiyonu kabaca nasıl tanımlayacağımızı artık biliyoruz. Şimdi fonksiyon değerinin hesaplanmasının adım adım nasıl ilerlediğini açıklayalım. Elimizde f(x) = 2x fonksiyonu var. Fonksiyona üç verirsek ne olur? Fonksiyona üç vermek, fonksiyonun parametresi yerine üç sayısını yazmak demektir. Fonksiyonun argümanı üçtür, dolayısıyla tüm x’lerin yerine üç yazarız:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Fonksiyonun altı döndüreceğini, biraz önceki tablodaki gibi, şimdiden görebiliyoruz. Ancak tablo yalnızca beş sayıyla sınırlıydı; yeni tanımımız başka sayılarla da çalışır:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

x değişkeni yerine belirli değerler yazdığımız bu işleme fonksiyon değerinin hesaplanması ya da fonksiyonun çağrılması, bazen de fonksiyonun uygulanması denir. Yani “f fonksiyonunu 5 argümanıyla çağırıyoruz” dersek, f(5) değerini hesaplamak istiyoruz demektir; bizim örneğimizde bu f(5) = 2 · 5 = 10 olur.

Aklında tutman gereken iki kavram daha var. Fonksiyonu çağırdığımız değere (yani x yerine yazdığımız değere) fonksiyonun argümanı denir. Biraz karışık görünebilir, ama elimizde f(x) fonksiyonu varsa ve onu üç değeriyle, yani f(3) olarak çağırırsak, x fonksiyonun parametresi, 3 ise fonksiyonun argümanıdır. Argüman, fonksiyonu çağırdığımız değerin kendisidir. Parametre ise fonksiyonun tanımlandığı asıl değişkendir. Bu daha çok teknik bir ayrıntıdır.

Bir diğer kavram fonksiyon değeridir; yani fonksiyonun çıkış olarak döndürdüğü değer. Önceki fonksiyon, üçle çağrıldığında altıyı döndürdü. Dolayısıyla bu durumda altı, fonksiyon değeridir. Bunu tam cümleyle “f fonksiyonunun üç noktasındaki değeri altıdır” diye söylerdik. “Nokta” sözcüğüyle bu bağlamda genellikle fonksiyonun argümanı kastedilir.

Gündelik Matematikte Fonksiyonlar

Gündelik matematikte çok sayıda fonksiyon vardır ve bunların yazılışı o kadar özeldir ki fonksiyon olduklarını fark etmeyiz bile. Örneğin mutlak değer bir fonksiyondan başka bir şey değildir. Girişte bir sayı alır, çıkışta ya aynı sayıyı ya da işareti ters çevrilmiş sayıyı döndürür.

Karekök sembolünü mutlaka tanıyorsundur: $\sqrt{}$. Bu da bir fonksiyondur. Girişte bir argüman alır, çıkışta karekökünü döndürür. Benzer şekilde karesini alma x² de bir fonksiyondur. Girişte bir sayı alır, çıkışta o sayının karesini döndürür.

Bu türden “sihirli” sembollerin çoğunun aslında sıradan bir fonksiyondan başka bir şey olmadığını fark etmek oldukça önemlidir. $\sqrt{}$ sembolüne tuhaf, kıvrık bir şekilmiş gibi bakma, o sembole bir fonksiyon olarak bak.

Özellikle yeni başlayan biri için, bir sürü matematik sembolü içeren bir ifade kafa karıştırıcı olabilir; zavallı acemi sembollerin yarısıyla ne yapacağını bilemez, oysa ifade birkaç bileşke fonksiyondan ibarettir. Örnek olarak şu ifadeye bakalım:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Matematikten anlamayan biri buna bakınca başını kaşır ve ne yapacağı konusunda pek bir fikri olmaz. Oysa bu ifadede, x değişkenine sırayla uygulanan, oldukça basit dört fonksiyon vardır. Bunu adlandırılmış ve iç içe fonksiyonlarla şöyle yazabiliriz:

$$\text{faktöriyel}(\text{karekök}(\text{mutlak}(\text{kare}(x))))$$

Yazılışı daha uzun, ama sembolleri bilmeyen biri için herhalde daha anlaşılır. Aynı zamanda fonksiyonların hangi sırayla çağrılacağı da tamamen açık.

Fonksiyon Gösteriminin Özeti

Fonksiyonun bir adı vardır; bu aslında herhangi bir şey olabilir. Genel bir fonksiyona çoğunlukla f denir. Her fonksiyonun belirli sayıda parametresi vardır ve bunları ada ekleyerek yuvarlak parantez içine yazarız. f fonksiyonumuzun iki parametresi olsaydı, bunu şöyle yazardık: f(x, y) ya da f(a, b). Parametrelerin nasıl adlandırıldığı genel olarak önemli değildir.

Sık kullanılan bazı fonksiyonların kendi sembolü vardır; örneğin karekökün sembolü $\sqrt{}$ işaretidir. Ayrıca sin ya da sin(x) sinüs fonksiyonudur, |x| mutlak değer fonksiyonudur, x! ise faktöriyel fonksiyonudur.

Fonksiyonun tek parametresi varsa, parantezi bazen yazmayız; bu bazen gösterimi sadeleştirir, bazen sadeleştirmez. Yani sin(x) ve sin x sinüs fonksiyonunun geçerli yazılışlarıdır.

Fonksiyonun parametresinden söz edildiğinde, f(x) yazımındaki x harfi kastedilir. Argüman ise fonksiyonu çağırdığımız, x yerine yazdığımız değerdir. Bu iki kavram çoğu zaman birbirine karışır. Fonksiyon değeri, fonksiyonu çağırdıktan sonra elde ettiğimiz değerdir. Bunu kısaca fonksiyonun adı, parantez ve argüman olarak yazarız. f(x) = 2x fonksiyonumuz varsa ve x parametresi yerine x = 4 argümanını yazarsak, fonksiyonu x = 4 argümanıyla çağırdığımızı ve elde edilen f(4) fonksiyon değerinin sekize eşit olduğunu söyleriz.