Composición de funciones

Una sola función no da mucho de sí. Por eso se permite que las funciones se compongan.

Motivación

Tomemos dos funciones. Por ejemplo, una función que nos calcula el número de kilómetros recorridos con un litro de gasolina. Digamos que nuestro coche recorre 10 kilómetros con un litro de gasolina. Esta función la llamamos f y la definimos como f(x) = 10x, donde el parámetro x indica cuántos litros de gasolina tenemos. Así, si tenemos en el depósito seis litros de gasolina, el coche todavía puede recorrer f(6) = 10 · 6 = 60 kilómetros.

La segunda función puede calcularnos cuántos litros de gasolina compramos con una cantidad dada de euros. Digamos que el litro de gasolina cuesta 1,20 €. Entonces la función, que llamaremos g, sería así: g(x) = x / 1,2, donde x indica con cuántos euros queremos comprar gasolina. Si tenemos 6 €, compraríamos g(6) = 6 / 1,2 = 5 litros de gasolina.

Ahora podríamos preguntarnos cuántos kilómetros más recorreremos si compramos gasolina por 30 €.

Ya tenemos funciones que calculan cada una una parte: el número de kilómetros recorridos en función de los litros y el número de litros de gasolina comprados en función del dinero. Ahora necesitaríamos componer las dos funciones.

Cómo resolverlo

Podríamos resolverlo calculando primero cuántos litros de gasolina compraríamos y después cuántos kilómetros recorreríamos. Probemos. Con 30 € compraríamos g(30) = 30 / 1,2 = 25 litros de gasolina. Y con 25 litros de gasolina recorreríamos f(25) = 10 · 25 = 250 kilómetros.

Pero también podemos resolverlo de otra manera, componiendo funciones. Podemos definir una nueva función h, que tome como entrada la cantidad de dinero y nos devuelva como salida el número de kilómetros recorridos. La función h la definimos mediante las funciones f y g así:

$$h(x)=f(g(x))$$

La función h así definida hace en realidad lo que hemos calculado en el primer párrafo. Nos dice que, cuando recibimos el valor x, es decir, la cantidad de dinero, tenemos que calcular primero el valor g(x), que es el número de litros que compramos con ese dinero. Este valor resultante g(x), en nuestro caso g(30) = 25, todavía tenemos que introducirlo en la función f, de modo que calculamos además f(25) = 250.

Podemos obtener también una expresión directa de la función h. Tomamos la función f y sustituimos todas las apariciones del parámetro x por la función g. La función f es así: f(x) = 10x, y en lugar del parámetro x sustituimos la función x / 1,2. Así obtenemos la función h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{1,2}\right)$$

Simplificamos:

$$h(x)=\frac{25x}{3}$$

Ahora hemos compuesto las funciones f y g en una nueva función resultante h, que nos calcula cuántos kilómetros recorremos con gasolina por valor de x euros. Podemos comprobarlo introduciendo en la función aquellos buenos 30 € de antes:

$$h(30)=\frac{25\cdot 30}{3}=250.$$

El resultado coincide con nuestro cálculo anterior.

Composición de funciones más complicadas

Tomemos las funciones f y g definidas así:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Probemos ahora a componer las funciones así: f(g(x)). Tomamos entonces la función f y en lugar de todas las apariciones del parámetro x ponemos, mejor entre paréntesis, la función g:

$$f(g(x))=\mathrm{sen}(\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Si compusiéramos las funciones al revés, obtendríamos:

$$g(f(x))=\frac{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)+1}{(\mathrm{sen}(x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Para la composición de funciones se usa el símbolo del círculo: f ∘ g. El problema es que a veces esta notación indica la composición en el sentido f(g(x)) y otras veces, en cambio, g(f(x)). La simbología es en este caso algo ambigua, así que es mejor que mires siempre cómo se entiende en cada caso.