Sammensætning af funktioner

En enkelt funktion kan ikke så meget. Derfor kan funktioner sættes sammen.

Motivation

Lad os tage to funktioner. For eksempel en funktion, der beregner antallet af kørte kilometer på en liter benzin. Lad os sige, at vores bil kører 10 kilometer på en liter benzin. Denne funktion kalder vi f og definerer den som f(x) = 10x, hvor parameteren x angiver, hvor mange liter benzin vi har. Så hvis vi har seks liter benzin i tanken, kan bilen køre f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer endnu.

Den anden funktion kan beregne, hvor mange liter benzin vi køber for et givet antal kroner. Lad os sige, at en liter benzin koster 15 kr. Så ville funktionen, vi kalder g, se sådan ud: g(x) = x / 15, hvor x angiver, for hvor mange kroner vi vil købe benzin. Hvis vi har 150 kr., ville vi købe g(150) = 150 / 15 = 10 liter benzin.

Nu kunne vi spørge, hvor mange kilometer vi kan køre endnu, hvis vi køber benzin for 600 kr.?

Vi har allerede funktioner, der hver beregner en enkelt ting — antallet af kørte kilometer afhængigt af antallet af liter og antallet af købte liter benzin afhængigt af penge. Nu har vi brug for at sætte begge funktioner sammen.

Hvordan løser vi det

Vi kunne løse det ved først at beregne, hvor mange liter benzin vi ville købe, og derefter hvor mange kilometer vi ville køre. Det prøver vi. For 600 kr. ville vi købe g(600) = 600 / 15 = 40 liter benzin. Og på 40 liter benzin ville vi køre f(40) = 10 · 40 = 400 kilometer.

Men vi kan også løse det på en anden måde, ved at sætte funktioner sammen. Vi kan definere en ny funktion h, der tager antallet af penge som input og returnerer antallet af kørte kilometer som output. Funktionen h definerer vi ved hjælp af funktionerne f og g sådan her:

$$h(x)=f(g(x))$$

En funktion h defineret på den måde gør i bund og grund det, som vi regnede ud i første afsnit. Den fortæller os, at når vi får værdien x, altså antallet af penge, skal vi først beregne værdien g(x), som er antallet af liter, vi køber for dem. Denne resulterende værdi g(x), i vores tilfælde altså g(600) = 40, skal vi så indsætte i funktionen f, så vi desuden beregner f(40) = 400.

Vi kan også få en direkte forskrift for funktionen h. Vi tager funktionen f og erstatter alle forekomster af parameteren x med funktionen g. Funktionen f ser sådan ud: f(x) = 10x, og for parameteren x indsætter vi funktionen x / 15. Dermed får vi funktionen h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{15}\right)$$

Vi reducerer/forkorter:

$$h(x)=\frac{2x}{3}$$

Nu har vi sat funktionerne f og g sammen til en ny funktion h, som beregner, hvor mange kilometer vi kan køre for benzin til en værdi af x kroner. Vi kan kontrollere det ved at indsætte de gode gamle 600 kr. i funktionen:

$$h(600)=\frac{2\cdot 600}{3}=400.$$

Resultatet stemmer med vores tidligere beregning.

Sammensætning af mere komplicerede funktioner

Lad funktionerne f og g være defineret sådan her:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Vi prøver nu at sætte funktionerne sammen sådan her: f(g(x)). Vi tager altså funktionen f og indsætter i stedet for alle forekomster af parameteren x, helst i parentes, funktionen g:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Hvis vi sammensatte funktionerne omvendt, ville vi få:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Til sammensætning af funktioner bruges bolle-symbolet: f ∘ g. Problemet er, at denne skrivemåde nogle gange betyder sammensætningen i retning f(g(x)) og andre gange derimod g(f(x)). Symbolikken er i dette tilfælde lidt flertydig, så tjek altid, hvordan det er ment i den enkelte sammenhæng.