Funktioiden yhdistäminen

Yksi funktio ei yksin saa paljon aikaan. Siksi funktioita voi yhdistää.

Motivaatio

Otetaan kaksi funktiota. Esimerkiksi funktio, joka laskee ajettujen kilometrien määrän yhdellä litralla bensiiniä. Oletetaan, että automme ajaa yhdellä litralla bensiiniä 10 kilometriä. Merkitään tätä funktiota f:llä ja määritellään se muodossa f(x) = 10x, jossa parametri x kertoo, kuinka monta litraa bensiiniä meillä on. Jos tankissa on kuusi litraa bensiiniä, auto ajaa vielä f(6) = 10 · 6 = 60 kilometriä.

Toinen funktio voi laskea, kuinka monta litraa bensiiniä saamme tietyllä eurosummalla. Oletetaan, että bensiinilitra maksaa 2 euroa. Silloin funktio, jota merkitsemme g:llä, näyttäisi tältä: g(x) = x / 2, jossa x kertoo, kuinka monella eurolla haluamme ostaa bensiiniä. Jos meillä on 10 euroa, ostaisimme g(10) = 10 / 2 = 5 litraa bensiiniä.

Nyt voisimme kysyä, kuinka monta kilometriä ajamme vielä, kun ostamme bensiiniä 50 eurolla?

Meillä on jo funktiot, jotka laskevat kumpikin yhden osan – ajettujen kilometrien määrän litrojen perusteella ja ostettujen bensiinilitrojen määrän rahan perusteella. Nyt meidän pitäisi yhdistää molemmat funktiot.

Miten tämä ratkaistaan

Voisimme ratkaista tämän laskemalla ensin, kuinka monta litraa bensiiniä ostaisimme, ja sitten, kuinka monta kilometriä ajaisimme. Kokeillaan. 50 eurolla ostaisimme g(50) = 50 / 2 = 25 litraa bensiiniä. Ja 25 litralla bensiiniä ajaisimme f(25) = 10 · 25 = 250 kilometriä.

Voimme ratkaista tämän myös toisella tavalla, funktioita yhdistämällä. Voidaan määritellä uusi funktio h, joka saa syötteenä rahamäärän ja palauttaa tuloksena ajettujen kilometrien määrän. Funktio h määritellään funktioiden f ja g avulla näin:

$$h(x)=f(g(x))$$

Näin määritelty funktio h tekee oikeastaan sen, minkä laskimme ensimmäisessä kappaleessa. Se kertoo, että kun saamme arvon x, eli rahamäärän, meidän pitää ensin laskea arvo g(x), joka on niiden litrojen määrä, jotka sillä ostamme. Tämä saatu arvo g(x), meidän tapauksessamme siis g(50) = 25, pitää vielä sijoittaa funktioon f, joten lasketaan vielä f(25) = 250.

Voimme saada myös funktion h suoran lausekkeen. Otetaan funktio f ja korvataan kaikki parametrin x esiintymät funktiolla g. Funktio f on tällainen: f(x) = 10x, ja parametrin x paikalle sijoitetaan funktio x / 2. Näin saadaan funktio h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Sievennetään:

$$h(x)=5x$$

Nyt olemme yhdistäneet funktiot f ja g uudeksi funktioksi h, joka laskee, kuinka monta kilometriä ajamme bensiinillä, jonka arvo on x euroa. Voimme tarkistaa sen laittamalla funktioon ne vanhat hyvät 50 euroa:

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

Tulos täsmää aiemman laskumme kanssa.

Monimutkaisempien funktioiden yhdistäminen

Olkoot funktiot f ja g määritelty näin:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Yritetään nyt yhdistää funktiot näin: f(g(x)). Otetaan siis funktio f ja sijoitetaan kaikkien parametrin x esiintymien tilalle funktio g, mieluummin sulkeissa:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Jos yhdistäisimme funktiot toisin päin, saisimme:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Funktioiden yhdistämiseen käytetään rengasmerkkiä: f ∘ g. Ongelmana on, että joskus tämä merkintä tarkoittaa yhdistämistä suuntaan f(g(x)) ja joskus taas suuntaan g(f(x)). Merkintätapa on tässä hieman epäselvä, joten kannattaa aina tarkistaa, kumpaa tarkoitetaan.