Composition de fonctions

Une seule fonction ne peut pas accomplir grand-chose. C’est pourquoi on permet de composer des fonctions entre elles.

Motivation

Considérons deux fonctions. Par exemple, une fonction qui calcule le nombre de kilomètres parcourus par litre d’essence. Supposons que notre voiture parcoure 10 kilomètres avec un litre d’essence. Notons cette fonction f et définissons-la par f(x) = 10x, où le paramètre x désigne le nombre de litres d’essence que nous avons. Ainsi, si nous avons six litres d’essence dans le réservoir, la voiture peut encore parcourir f(6) = 10 · 6 = 60 kilomètres.

Une deuxième fonction peut nous calculer combien de litres d’essence nous achetons pour un montant donné. Supposons que le litre d’essence coûte 2 €. La fonction, que nous notons g, serait alors g(x) = x / 2, où x désigne le montant en euros avec lequel nous voulons acheter de l’essence. Si nous avons 10 €, nous achèterions g(10) = 10 / 2 = 5 litres d’essence.

Nous pourrions maintenant nous demander : combien de kilomètres pourrons-nous parcourir si nous achetons de l’essence pour 50 € ?

Nous avons déjà des fonctions qui calculent chacune une partie du problème : le nombre de kilomètres parcourus en fonction des litres, et le nombre de litres achetés en fonction de l’argent. Il nous faut maintenant composer les deux fonctions.

Comment résoudre le problème

Nous pourrions procéder en calculant d’abord combien de litres d’essence nous achèterions, puis combien de kilomètres nous parcourrions. Essayons. Avec 50 €, nous achèterions g(50) = 50 / 2 = 25 litres d’essence. Et avec 25 litres d’essence, nous parcourrions f(25) = 10 · 25 = 250 kilomètres.

Mais on peut aussi procéder autrement, en composant les fonctions. Nous pouvons définir une nouvelle fonction h qui prend en entrée le montant d’argent et renvoie en sortie le nombre de kilomètres parcourus. Nous définissons h à l’aide des fonctions f et g ainsi :

$$h(x)=f(g(x))$$

La fonction h ainsi définie fait en réalité ce que nous avons calculé dans le premier paragraphe. Elle nous dit que, lorsque nous recevons la valeur x, c’est-à-dire le montant d’argent, nous devons d’abord calculer g(x), qui est le nombre de litres achetés avec cette somme. Il faut ensuite introduire ce résultat g(x) – dans notre cas g(50) = 25 – dans la fonction f, et calculer donc f(25) = 250.

On peut aussi obtenir l’écriture explicite de h. On prend la fonction f et l’on remplace toutes les occurrences du paramètre x par la fonction g. La fonction f s’écrit f(x) = 10x, et l’on substitue au paramètre x la fonction x / 2. On obtient ainsi la fonction h :

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Simplifions :

$$h(x)=5x$$

Nous avons maintenant composé les fonctions f et g en une nouvelle fonction h, qui calcule le nombre de kilomètres que l’on peut parcourir avec de l’essence d’une valeur de x euros. Vérifions-le en introduisant les bons vieux 50 € dans la fonction :

$$h(50)=5\cdot 50=250.$$

Le résultat concorde avec notre calcul précédent.

Composition de fonctions plus complexes

Considérons les fonctions f et g définies ainsi :

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Essayons maintenant de composer ces fonctions ainsi : f(g(x)). On prend la fonction f et, à la place de toutes les occurrences du paramètre x, on insère, de préférence entre parenthèses, la fonction g :

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Si l’on composait les fonctions dans l’autre sens, on obtiendrait :

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Pour composer des fonctions, on utilise le symbole du petit rond : f ∘ g. Le problème est que cette écriture désigne parfois la composition dans le sens f(g(x)) et parfois g(f(x)). La notation est donc un peu ambiguë dans ce cas ; il vaut mieux toujours vérifier comment elle est entendue dans le contexte.